数值模拟导论-第六讲 Krylov子空间矩阵求解方法 雅克比怀特 感谢 Deepak ramaswamy, Michal Rewienski. Karen Veroy and Jacob White
数值模拟导论 -第六讲 Krylov子空间矩阵求解方法 雅克比·怀特 感谢Deepak Ramaswamy, Michal Rewienski,Karen Veroy and Jacob White
概述 常规的子空间极小化算法 回顾学过的正交化和投射定理 GCR算法 krylov-子空间 一对称矩阵的简化 收敛条件 回顾特征值和特征向量 范数和谱半径 谱映射定理
常规的子空间极小化算法 ——回顾学过的正交化和投射定理 GCR算法 －krylov-子空间 －对称矩阵的简化 －收敛条件 回顾特征值和特征向量 －范数和谱半径 －谱映射定理 概述
任意的子空间方法 任意的子空间方法 近似的解MX=b 选择一个k维的子空间 可以近似为向量{的和 a 1 SMA-HPC C2003 MIT
任意的子空间方法 SMA-HPC ©2003 MIT 可以近似为向量 的和 任意的子空间方法 近似的解Mx ＝ b 选择一个 k维的子空间 1 0 k k i i i x α w − = ⇒ = ∑ G { } 0 1 , , − ⋅⋅⋅ w wk G G { } 0 1 , , − ⋅⋅⋅ w wk G G { } 0 1 , , − ⋅⋅⋅ w wk G G { } 0 1 , , − ⋅⋅⋅ w wk G G { } 0 1 , , − ⋅⋅⋅ w wk G G {w w 0 1 , , ⋅⋅⋅ k − } G G
任意子空间方法 最小残向量 残向量定义为r=b-M 如果=a两→r=b-M2=b-2aM i=0 残向量最小化的思路为:取αs,最小化式: t2上 SMA-HPC C2003 MIT
·残向量定义为 如果 残向量最小化的思路为：取 ，最小化式： 1 0 k k i i i x w α − = = ⇒ ∑ G k k r b Mx = − 1 0 k i i i b Mw α − = = −∑ G 任意子空间方法 SMA-HPC ©2003 MIT 最小残向量 11 2 2 ... N N x M xM x M b + ++ = GG G 11 2 2 ... N N x M xM x M b + ++ = GG G 11 2 2 ... N N x M xM x M b + ++ = GG G 11 2 2 ... N N x M xM x M b + ++ = GG G 11 2 2 ... N N x M xM x M b + ++ = GG G 11 2 2 ... N N x M xM x M b + ++ = GG G k k r = b − Mx i α s ′ i α s ′ ( )( ) 1 1 2 2 0 0 T k k T k kk ii ii i i r r r b Mw b Mw α α − − = = ⎛ ⎞⎛ ⎞ ≡ =− − ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ∑ ∑ G G k k r b Mx = −
任意子空间方法 最小残向量 算法 如果(M)(M)=0或者M)正交于(M,那么我 们将很容易计算出=-24的最小值。 如果(4)()=0或者(5)于()非正交 那么要建立一组正交的向量{…}使向量空间 向量空间{并且()()=0,≠j SMA-HPC C2003 MIT
如果 或者 正交于 ，那么我 们将很容易计算出 的最小值。 如果 或者 于 非正交 那么要建立一组正交的向量 使向量 空间 ＝向量空间 并且 ， ( ) ( ) 0 Mw Mw i j = G G ( Mwi) G ( Mwj ) G 任意子空间方法 SMA-HPC ©2003 MIT 最小残向量 算法 2 2 2 2 k i i r b Mw = − ∑ α G { p p 0 1 , , ⋅⋅⋅ k − } G G { } 0 1 , , w wk − ⋅⋅⋅ G G ( ) ( ) 0 T Mp Mp i j = G G i ≠ j ( Mwi) G ( Mwj ) G ( ) ( ) 0 T Mp Mp i j = G G