练习：设P在x轴上，它到P(O,V2,3)的距离为到P,(0,1,-1)的距离的2倍，求点P的坐标解设P点坐标为(x,0,0)，[PP|= x2 +(V2)? +32 = /x2 +11,[PP|= /x2 +(-1) +12 = Vx2 +2, [PP|=2|PP],:: Vx2 +11=2/x2 +2=x=±1,所求点为： (1,0,0), (-1,0,0).-21-
解 设 P点坐标为( ,0,0) x ， 2 22 2 1 PP x x ( 2) 3 11， 2 22 2 2 PP x x ( 1) 1 2， 1 2 PP PP 2 ， 11 2 x 2 2 2 x x 1, 所求点为： (1,0,0), ( 1,0,0). 1 2 (0, 2,3) (0,1, 1) . Px P P P ： ， ， 练习 设 在 轴上 它到 的距离为到 的距离的2倍 求点 的坐标 •-21-
2.方向角与方向余弦方向角：非零向量与三条坐标轴正向的夹角。如图：向量的三个方向角：α，β，易知：α, β,E[0, 元]方向余弦：方向角的余弦值xxcosa叫V2+y2+z2yycosβ国Vx2+y2+z2ZZCOS=V2+y2++74-22
方向角:非零向量与三条坐标轴正向的夹角. 易知： ， ， [0 ]. 2.方向角与方向余弦 如图： 方向余弦:方向角的余弦值. o y z x •-22- . 向量 的三个方向角： ， ， r
注1:cos?α+cos?β+cos2=1.注2：与同方向的单位向量é, =阿= (cosα, cosβ, cosy)--23-
• -23 -
例5设有向量PP，它与x轴和y轴的夹角分别为"/和元4，且PP=2，若P的坐标为(1,0,3)，求P的坐标解设PP的方向角为α,β,，则α="，β=4由cos?α+cos?β+cos=1得：cos=±设P, 的坐标为(x,y,z),则PP, =(x-1, y-0,z-3)x-11x-1= x =2;cOsα:122PPP的坐标为V2J-0(2, V2,4)或y-0= y= V2;cosβ=22PP(2, V2,2).Z-3z-31-十= z=4或z=2,COSY二22PP-24-
解 222 1 cos cos cos 1 cos . 2 由 得 ： 1 2 12 1 2 3 4 2 (1,0,3) PP x y PP P P 例 5 设有向量 ，它与 轴和 轴的夹角分别为 和 ，且 ，若 的坐标为 ，求 的坐标. 2 12 设的 则 P P 坐标为( , , ) ( 1, 0, 3). xy P z xy z ， 1 2 1 11 cos P P 2 2 x x x 2； 1 2 0 02 cos P P 2 2 y y y 2； 1 2 3 31 cos P P 2 2 z z z z 4 2 或 ， 2 (2, 2,4) (2, 2,2). P 的坐 为 或 标 •-24- 1 2 . 3 4 设 的方向角为 则 PP ， ， ，
3.向量在轴上的投影M设点O及单位向量é确定了u轴任给向量，作OM=产MOu再过M作与u轴垂直的平面，交u轴与点M'（M在u轴上的投影）则oM称为在u轴上的分量由于OM/e，则存在唯一的入ER，使得OM=；则数入称为在u轴上的投影，记作Prj,.依此定义，若a=(ax,ay,az)，则ax = Prja, ay =Prj,a, az = Pri,a.:-25-
3.向量在轴上的投影 M O u • -25 - M