中国矿业大学：《高等数学》课程教学课件（讲稿）第八章 向量代数与空间解析几何

定理1//a唯一的实数，使=a，（a)----此定理是建立数轴的理论依据证：（一）由向量与数的乘法的规定易知成立()已知/ /a，若=，则取=0，即有=；下面假设01b1若b与a同向，则取=0，此时，b与a同向，且有lal16aHbl，于是，b=aa[aal=|alla]lal161若b与a反向，则取几=O，此时，b与αa同向，且有lal161aHbl，于是，b=aa[aaalal再证的唯一性．假设b=aa，b=ua，且±u.两等式相减得：(-μ)a=o,而a,于是-μ=0，矛盾！唯一性得证..-11-

-此定理是建立数轴的理论依据. •-11- () . ( ) 0 0 0. 0 . 0 ba b b a b b ba b a a b a a ab b a a b ba b a a                        由向量与数的乘法的规定易知成立 已知 ，若 ，则取 ，即有 ；下面假设 若 与 同向，则取 ，此时， 与 同向，且有 ，于是， 若 与 反向，则取 ，此时， 与 证 向，且有 ： 同                           | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | . . 00 0 b a a ab b a a b ab a a a                   ，于是， 再证 的唯一性. 假设 ， ，且 两等式相减得： ( ) ，而 ，于是 ，矛盾！唯一性得证.                | | | | | | | | | | | |

数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线，设点0及单位向量确定了数轴0xiPx0任取数轴上任一点P，对应一个向量OP因OP/li，由定理1知：存在唯一的x使OP=xi，则点P→向量OP=x实数x从而数轴上的点P与实数x有一一对应关系据此，定义实数x为数轴上点P的坐标-12-

数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线. 因 ，由定理1知：存在唯一的 使 ，则 OP i x OP xi / /      从而数轴上的点 与实数 有一一对应关系 P x . 据此， 为数 定义实数 点 的坐标 x P 轴上 . •-12-  O x

三、空间直角坐标系1.空间直角坐标系三个坐标轴的正方向符合右手规则即，以右手握住乙轴，当Iz竖轴右手的四个手指从x正向元车轴以角度转向V正向轴2定点0时，大拇指的指向就是y纵轴Z轴的正向横轴x-13-

横轴 x y 纵轴 z 竖轴 定点o  三个坐标轴的正方向符合右手规则： 三、空间直角坐标系 1.空间直角坐标系 2 . z x y z  ， ， ， 即 以右手握住 轴 当 右手的四个手指从 正向 轴以角度 转向 正向轴 时 大拇指的指向就是 轴的正向 •-13-

2.坐标面与卦限III1zox面yoz面IIIV1Xoy面VIxVIVVII空间直角坐标系的三个坐标平面及八个卦限o-14-

Ⅶ x o y z xoy面 yoz面 zox面 空间直角坐标系的三个坐标平面及八个卦限 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅷ 2.坐标面与卦限 •-14-

3.向量的坐标表示如图：空间直角坐标系中，设x，yz轴上的单位向量Z分别为：,,K.C任给向量，存在点M，使MBT=OM=OA+OB+OC01= xi+yj+zkANx一一的坐标分解式xi，元，zk称为沿三个坐标轴方向的分向量三元有序数(x,y,z）一向量的坐标一一点M的坐标--15-

3.向量的坐标表示 x o y z N B C A M  r •-15-