1.2.1任意角的三角函数() 教学目标 1、知识与技能 (1)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号) (2)理解任意角的三角函数不同的定义方法:(3)了解如何利用与单位圆有关的有向线段,将任意角a 的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来;(4)掌握并能初步运用公式一;(5) 树立映射观点,正确理解三角函数是以实数为自变量的函数 2、过程与方法 初中学过:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数引导学生把这个定义推广到任 意角,通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义.根据角 终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.最后主要是借助 有向线段进一步认识三角函数.讲解例题,总结方法,巩固练习 3、情态与价值 任意角的三角函数可以有不同的定义方法,而且各种定义都有自己的特点.过去习惯于用角的终边上 点的坐标的“比值”来定义,这种定义方法能够表现出从锐角三角函数到任意角的三角函数的推广,有利 于引导学生从自己已有认知基础出发学习三角函数,但它对准确把握三角函数的本质有一定的不利影响 “从角的集合到比值的集合”的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的“数集到数集”的对应关系有冲 突,而且“比值”需要通过运算才能得到,这与函数值是一个确定的实数也有不同,这些都会影响学生对 角函数概念的理解 本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.这个定义清楚地表明了正弦、余弦函 数中从自变量到函数值之间的对应关系,也表明了这两个函数之间的关系 、教学重、难点 重点:任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号) 终边相同的角的同一三角函数值相等(公式一) 难点:任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号); 角函数线的正确理解. 三、学法与教学用具 任意角的三角函数可以有不同的定义方法,本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦 函数.表明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系,也表明了这两个函数之间的关系 另外,这样的定义使得三角函数所反映的数与形的关系更加直接,数形结合更加紧密,这就为后续内 容的学习带来方便,也使三角函数更加好用了 教学用具:投影机、三角板、圆规、计算器 四、教学设想 第一课时任意角的三角函数(一) 【创设情境】 提问:锐角0的正弦、余弦、正切怎样表示? 借助右图直角三角形,复习回顾 P(a, b) 引入:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数 数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗? 如图,设锐角a的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合,那
1.2.1 任意角的三角函数(一) 一、教学目标： 1、知识与技能 （1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）； （2）理解任意角的三角函数不同的定义方法；（3）了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α 的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；（4）掌握并能初步运用公式一；（5） 树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数. 2、过程与方法 初中学过:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数.引导学生把这个定义推广到任 意角,通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义.根据角 终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.最后主要是借助 有向线段进一步认识三角函数.讲解例题，总结方法，巩固练习. 3、情态与价值 任意角的三角函数可以有不同的定义方法，而且各种定义都有自己的特点.过去习惯于用角的终边上 点的坐标的“比值”来定义，这种定义方法能够表现出从锐角三角函数到任意角的三角函数的推广，有利 于引导学生从自己已有认知基础出发学习三角函数，但它对准确把握三角函数的本质有一定的不利影响， “从角的集合到比值的集合”的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的“数集到数集”的对应关系有冲 突，而且“比值”需要通过运算才能得到，这与函数值是一个确定的实数也有不同，这些都会影响学生对 三角函数概念的理解. 本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.这个定义清楚地表明了正弦、余弦函 数中从自变量到函数值之间的对应关系，也表明了这两个函数之间的关系. 二、教学重、难点 重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）； 终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）. 难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）； 三角函数线的正确理解. 三、学法与教学用具 任意角的三角函数可以有不同的定义方法，本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦 函数.表明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也表明了这两个函数之间的关系. 另外，这样的定义使得三角函数所反映的数与形的关系更加直接，数形结合更加紧密，这就为后续内 容的学习带来方便，也使三角函数更加好用了. 教学用具:投影机、三角板、圆规、计算器 四、教学设想 第一课时 任意角的三角函数（一） 【创设情境】 提问：锐角 O 的正弦、余弦、正切怎样表示？ 借助右图直角三角形，复习回顾. 引入：锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。 数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗? 如图,设锐角 的顶点与原点 O 重合,始边与 x 轴的正半轴重合,那 y P（a，b） r O M
么它的终边在第一象限.在a的终边上任取一点P(a,b),它与原点 的距离r=a2+b2>0.过P作x轴的垂线,垂足为M,则线段a的终边 OM的长度为a,线段MP的长度为b.则 sina= mp b OP r OM MP b cosa OP OM a 思考:对于确定的角α,这三个比值是否会随点P在a的终边 上的位置的改变而改变呢? 显然,我们可以将点取在使线段OP的长r=1的特殊位置上, 这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数: MP =6: cosa= OP Op=a;ana、MPb OM a 思考:上述锐角c的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示那么,角的概念推广以后,我们应该如 何对初中的三角函数的定义进行修改,以利推广到任意角呢?本节课就研究这个问题一一任意角的三角函 数 【探究新知】 1.探究:结合上述锐角a的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢? 显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为1,然后就可以类似锐角求得该角 的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称以原点O为圆心,以单位长度 为半径的圆 思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义? 如图,设a是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么 (1)y叫做a的正弦(sine),记做sina,即sina=y (2)x叫做a的余弦( coSine),记做cosa,即cosa=x (3)2叫做a的正切( tangent,记做tana,即tana=(x≠0) 注意:当α是锐角时,此定义与初中定义相同(指出对边,邻边,斜边所在);当a不是锐角时,也能 够找出三角函数,因为,既然有角,就必然有终边,终边就必然与单位圆有交点P(x,y),从而就必然能 够最终算出三角函数值 3.思考:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢? 前面我们已经知道,三角函数的值与点P在终边上的位置无关,仅与角的大小有关我们只需计算点到 原点的距离r=√x2+y2,那么sina= Vx+y2, os 2+y ana= 所以,三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,又因为角 的集合与实数集之间可以建立一一对应关系,故三角函数也可以看成实数为自变量的函数 4.例题讲评 例1.求一的正弦、余弦和正切值. 例2.已知角a的终边过点B(-3,-4),求角a的正弦、余弦和正切值
么它的终边在第一象限.在 的终边上任取一点 P a b ( , ) ,它与原点 的距离 2 2 r a b = + 0 .过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 M ,则线段 OM 的长度为 a ,线段 MP 的长度为 b .则 sin MP b OP r = = ; cos OM a OP r = = ; tan MP b OM a = = . 思考：对于确定的角 ，这三个比值是否会随点 P 在 的终边 上的位置的改变而改变呢？ 显然，我们可以将点取在使线段 OP 的长 r =1 的特殊位置上， 这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数： sin MP b OP = = ; cos OM a OP = = ; tan MP b OM a = = . 思考：上述锐角 的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以后，我们应该如 何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？本节课就研究这个问题――任意角的三角函 数. 【探究新知】 1.探究:结合上述锐角 的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢? 显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为 1,然后就可以类似锐角求得该角 的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称以原点 O 为圆心,以单位长度 为半径的圆. 2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义? 如图,设 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P x y ( , ) ,那么: (1) y 叫做 的正弦(sine),记做 sin ,即 sin = y ； （2） x 叫做 的余弦(cossine),记做 cos ,即 cos = x ； （3） y x 叫做 的正切(tangent),记做 tan ,即 tan ( 0) y x x = . 注意:当α是锐角时，此定义与初中定义相同（指出对边，邻边，斜边所在）；当α不是锐角时，也能 够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点 P x y ( , ) ，从而就必然能 够最终算出三角函数值. 3.思考:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢? 前面我们已经知道,三角函数的值与点 P 在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到 原点的距离 2 2 r x y = + ,那么 2 2 sin y x y = + , 2 2 cos x x y = + , tan y x = .所以，三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，又因为角 的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故三角函数也可以看成实数为自变量的函数. 4.例题讲评 例 1.求 5 3 的正弦、余弦和正切值. 例 2．已知角 的终边过点 0P ( 3, 4) − − ，求角 的正弦、余弦和正切值. a的终边 P(x,y ) O x y
教材给出这两个例题,主要是帮助理解任意角的三角函数定义我也可以尝试其他方法 如例2:设x=-3,y=-4则r=√-3)2+(-4)2=5 4 于是 tang=y 4 5.巩固练习1第1,2,3题 6.探究:请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义域填入下表:再将这三种函数 的值在各个象限的符号填入表格中 定义域 角函数 第一象限|第二象限|第三象限|第四象限 角度制弧度制 cos a tan a 7.例题讲评 sin 0<0 例3.求证:当且仅当不等式组{ 成立时,角θ为第三象限角 tan>0 8.思考:根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有和关系 显然:终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式 sin(a+2kT)=sina cos(a+2kx)=cosa(其中k∈Z) tan(a +2kT)=tan a 9.例题讲评 例4.确定下列三角函数值的符号,然后用计算器验证 (1)c0s250;(2)sin(-);(3)tan(-672);(4)tan3n 例5.求下列三角函数值 (1)sin148010;(2)c9.(3)tan 利用公式一,可以把求任意角的三角函数值,转化为求0到2丌(或0到360)角的三角函数值.另外 可以直接利用计算器求三角函数值,但要注意角度制的问题 10.巩固练习F第4,5,6,7题 11.学习小结 (1)本章的三角函数定义与初中时的定义有何异同? (2)你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗? (3)请写出各三角函数的定义域
教材给出这两个例题，主要是帮助理解任意角的三角函数定义.我也可以尝试其他方法: 如例 2:设 x y = − = − 3, 4, 则 2 2 r = − + − = ( 3) ( 4) 5 . 于是 4 sin 5 y r = = − , 3 cos 5 x r = = − , 4 tan 3 y x = = . 5.巩固练习 P17 第 1,2,3 题 6.探究:请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义域填入下表；再将这三种函数 的值在各个象限的符号填入表格中： 三角函数 定义域 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 角度制 弧度制 sin cos tan 7．例题讲评 例 3．求证：当且仅当不等式组 sin 0 { tan 0 成立时，角 为第三象限角. 8.思考:根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有和关系? 显然: 终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一: sin( 2 ) sin + = k cos( 2 ) cos + = k (其中 k Z ) tan( 2 ) tan + = k 9.例题讲评 例 4.确定下列三角函数值的符号,然后用计算器验证: (1) cos 250 ; (2) sin( ) 4 − ; (3) tan( 672 ) − ; (4) tan3 例 5.求下列三角函数值: (1) ' sin1480 10 ; (2) 9 cos 4 ; (3) 11 tan( ) 6 − 利用公式一,可以把求任意角的三角函数值, 转化为求 0 到 2 (或 0 到 360 )角的三角函数值. 另外 可以直接利用计算器求三角函数值,但要注意角度制的问题. 10.巩固练习 P17 第 4,5,6,7 题 11.学习小结 (1)本章的三角函数定义与初中时的定义有何异同? (2)你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗? (3)请写出各三角函数的定义域；
(4)终边相同的角的同一三角函数值有什么关系?你在解题时会准确熟练应用公式一吗? 五、评价设计 1.作业:习题1.2A组第1,2题 2.比较角概念推广以后,三角函数定义的变化思考公式一的本质是什么?要做到熟练应用.另外,关于 角函数值在各象限的符号要熟练掌握,知道推导方法. 第二课时任意角的三角函数(二) 【复习回顾】 1、三角函数的定义;
(4)终边相同的角的同一三角函数值有什么关系?你在解题时会准确熟练应用公式一吗? 五、评价设计 1．作业：习题 1.2 A 组第 1,2 题． 2．比较角概念推广以后,三角函数定义的变化.思考公式一的本质是什么?要做到熟练应用.另外,关于 三角函数值在各象限的符号要熟练掌握,知道推导方法. 第二课时 任意角的三角函数（二） 【复习回顾】 1、 三角函数的定义；
2、三角函数在各象限角的符号: 3、三角函数在轴上角的值 4、诱导公式(一):终边相同的角的同一三角函数的值相等 5、三角函数的定义域 要求:记忆.并指出,三角函数没有定义的地方一定是在轴上角,所以,凡是碰到轴上角时,要结合 定义进行分析:并要求在理解的基础上记忆 【探究新知】 1.引入:角是一个图形概念,也是一个数量概念(弧度数).作为角的函数一一三角函数是一个数量 概念(比值),但它是否也是一个图形概念呢?换句话说,能否用几何方式来表示三角函数呢? 2.[边描述边画]以坐标原点为圆心,以单位长度1为半径画一个圆,这个圆就叫做单位圆(注意: 这个单位长度不一定就是1厘米或1米).当角a为第一象限角时,则其终边与单位圆必有一个交点 P(x,y),过点P作PM⊥x轴交x轴于点M,则请你观察 a角的终 根据三角函数的定义:| MPEyE= sinaI T JOMExEcosa I 随着a在第一象限内转动,MP、OM是否也跟着变化? 3.思考:(1)为了去掉上述等式中的绝对值符号,能否给线 段MP、OM规定一个适当的方向,使它们的取值与点P的坐标 (2)你能借助单位圆,找到一条如MP、OM一样的线段来 表示角a的正切值吗? 我们知道,指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关当角a的终边不在坐标轴时,以O为始点、M 为终点,规定 当线段OM与x轴同向时,OM的方向为正向,且有正值x;当线段OM与x轴反向时,OM的方 向为负向,且有正值x;其中x为P点的横坐标.这样,无论那种情况都有 OM 同理,当角a的终边不在x轴上时,以M为始点、P为终点,规定 当线段MP与y轴同向时,MP的方向为正向,且有正值y:当线段MP与y轴反向 时,MP的方向为负向,且有正值ν:其中ν为P点的横坐标.这样,无论那种情况都有 MP= y=sina 4.像MP、OM这种被看作带有方向的线段,叫做有向线段( direct line segment) 5如何用有向线段来表示角a的正切呢? 如上图,过点A(1,0)作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与a的终边交于点T,请根据正切 函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段OAAT,我们有 AT=2 我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP、OM、AT,分别叫做角a的正弦线、余弦线、正切线 统称为三角函数线 6.探究:(1)当角α的终边在第二、第三、第四象限时,你能分别作出它们的正弦线、余弦线和正切 线吗?
2、 三角函数在各象限角的符号； 3、 三角函数在轴上角的值； 4、 诱导公式（一）：终边相同的角的同一三角函数的值相等； 5、 三角函数的定义域. 要求：记忆.并指出，三角函数没有定义的地方一定是在轴上角，所以，凡是碰到轴上角时，要结合 定义进行分析；并要求在理解的基础上记忆. 【探究新知】 1．引入：角是一个图形概念，也是一个数量概念（弧度数）.作为角的函数——三角函数是一个数量 概念（比值），但它是否也是一个图形概念呢？换句话说，能否用几何方式来表示三角函数呢？ 2．[边描述边画]以坐标原点为圆心，以单位长度 1 为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆（注意： 这个单位长度不一定就是 1 厘米或 1 米）.当角 为第一象限角时，则其终边与单位圆必有一个交点 P x y ( , ) ，过点 P 作 PM x ⊥ 轴交 x 轴于点 M ，则请你观察: 根据三角函数的定义： | | | | | sin | MP y = = ； | | | | | cos | OM x = = 随着 在第一象限内转动， MP 、OM 是否也跟着变化？ 3．思考：（1）为了去掉上述等式中的绝对值符号，能否给线 段 MP 、OM 规定一个适当的方向，使它们的取值与点 P 的坐标 一致？ （2）你能借助单位圆，找到一条如 MP 、OM 一样的线段来 表示角 的正切值吗？ 我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角 的终边不在坐标轴时,以 O 为始点、 M 为终点，规定： 当线段 OM 与 x 轴同向时， OM 的方向为正向，且有正值 x ；当线段 OM 与 x 轴反向时， OM 的方 向为负向，且有正值 x ；其中 x 为 P 点的横坐标.这样,无论那种情况都有 OM x = = cos 同理,当角 的终边不在 x 轴上时,以 M 为始点、 P 为终点，规定： 当线段 MP 与 y 轴同向时， MP 的方向为正向，且有正值 y ；当线段 MP 与 y 轴反向 时， MP 的方向为负向，且有正值 y ；其中 y 为 P 点的横坐标.这样,无论那种情况都有 MP y = = sin 4.像 MP OM 、 这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段（direct line segment）. 5.如何用有向线段来表示角 的正切呢? 如上图,过点 A(1,0) 作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与 的终边交于点 T ,请根据正切 函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段 OA AT 、 ,我们有 tan y AT x = = 我们把这三条与单位圆有关的有向线段 MP OM AT 、 、 ,分别叫做角 的正弦线、余弦线、正切线， 统称为三角函数线. 6.探究：（1）当角 的终边在第二、第三、第四象限时，你能分别作出它们的正弦线、余弦线和正切 线吗？ O x y a 角的终 边 P T M A