12第1课时任意角的三角函数定义 、选择题 1.如果a的终边过点P(2sin30°,-2cos309),则sina的值等于( [答案]C 「解析]∵P( ),∴r=V12+( . sina- 数y=++=m的值域是() A.{-1,1,3} [答案]C 解析]∵该函数的定义域是{x∈pa、極,k∈Z, ∴当x是第一象限角时,y=3 当x是第二象限角时,y=1 当x是第三象限角时,y=-1-1+1=-1; 当x是第四象限角时,y=-1+1 综上,函数的值域是{-1,3} 3.(08全国Ⅱ)若sina<0且tan>0,则a是() A.第一象限角B.第二象限角 C.第三象限角D.第四象限角 [答案]C 4.若sin0<cosO,且sin0cos0-<0,则θ在() A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限 [答案]D 解析]由条件可知;cos0>0>sin,则θ为第四象限角,故选D. 5.a是第二象限角,P(x,√5为其终边上一点,且cox=2x,则sima的值为()
1.2 第 1 课时 任意角的三角函数定义 一、选择题 1．如果 α 的终边过点 P(2sin30°，－2cos30°)，则 sinα 的值等于( ) A.1 2 B．－ 1 2 C．－ 3 2 D．－ 3 3 [答案] C [解析] ∵P(1，－ 3)，∴r＝ 1 2＋(－ 3) 2＝2， ∴sinα＝－ 3 2 . 2．函数 y＝ |sinx| sinx ＋ cosx |cosx| ＋ |tanx| tanx 的值域是( ) A．{－1,1,3} B．{1,3} C．{－1,3} D．R [答案] C [解析] ∵该函数的定义域是{x|x∈R 且 x≠ kπ 2 ，k∈Z}， ∴当 x 是第一象限角时，y＝3； 当 x 是第二象限角时，y＝1－1－1＝－1； 当 x 是第三象限角时，y＝－1－1＋1＝－1； 当 x 是第四象限角时，y＝－1＋1－1＝－1. 综上，函数的值域是{－1,3}． 3．(08·全国Ⅱ)若 sinα<0 且 tanα>0，则 α 是( ) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 [答案] C 4．若 sinθ<cosθ，且 sinθ·cosθ<0，则 θ 在( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 [答案] D [解析] 由条件可知：cosθ>0>sinθ，则 θ 为第四象限角，故选 D. 5．α 是第二象限角，P(x， 5)为其终边上一点，且 cosα＝ 2 4 x，则 sinα 的值为( )
√6 [答案]A 解析:0P=+5.:cx=x=2 又因为a是第二象限角,∴x<0,得x sIna 故选A 2+5 6.设a<0,角a的终边经过点P(-3a,4a),那么sina+2cosa的值等于( B 「答案] [解析]∵a<0,角a终边经过点P(-3a4a), ∴sina+2cosa ∴选A 7.sinl,cosl,tanl的大小关系为() C. tanl>sin l>cosl D. tanl>cosl>sinl [答案]C [解析]设lrad角的终边与单位圆交点为P(x,y), z<1买,∴0<xy×1, 从而cosl tanO=-tane,则的终边在( A.第二、四象限 象限 C.第 象限或x轴上 D.第二、四象限或x轴上 [答案]D
A. 10 4 B. 6 4 C. 2 4 D．－ 10 4 [答案] A [解析] ∵|OP|＝ x 2＋5，∴cosα＝ x x 2＋5 ＝ 2 4 x 又因为 α 是第二象限角，∴x<0，得 x＝－ 3 ∴sinα＝ 5 x 2＋5 ＝ 10 4 ，故选 A. 6．设 a<0，角 α 的终边经过点 P(－3a,4a)，那么 sinα＋2cosα 的值等于( ) A.2 5 B．－ 2 5 C.1 5 D．－ 1 5 [答案] A [解析] ∵a<0，角 α 终边经过点 P(－3a,4a)， ∴r＝－5a，sinα＝－ 4 5 ，cosα＝ 3 5 ， ∴sinα＋2cosα＝ 2 5 ，∴选 A. 7．sin1，cos1，tan1 的大小关系为( ) A．sin1>cos1>tan1 B．sin1>tan1>cos1 C．tan1>sin1>cos1 D．tan1>cos1>sin1 [答案] C [解析] 设 1rad 角的终边与单位圆交点为 P(x，y)， ∵ π 4 <1<π 2 ，∴0<x<y<1， 从而 cos1<sin1<1<tan1. 8．已知|cosθ|＝cosθ，|tanθ|＝－tanθ，则θ 2 的终边在( ) A．第二、四象限 B．第一、三象限 C．第一、三象限或 x 轴上 D．第二、四象限或 x 轴上 [答案] D
[解析]∵kcos硎=cos0,∴cos9≥0, 又tanO=-tan0,∴tan≤0, ∴2kπ+<0≤2kx+2π k+5≤机x+兀,k∈Z∴应选D tanx 的定义域为() A.2kπ≤x≤2k+ B. 2k<x<2k +I C.2kx<x<(2k+1)兀 D.2k-2x<2A+5(以上k∈Z [答案]B sinx≥0 解析]∵tanx≠0 x≠{x+x,k∈Z ∴2k<x<2π+“,k∈Z 10.设0≤0<2π,如果sin0>0且cos20>0,则θ的取值范围是( A.0<0 B.0<0 3π D.3<a5 「答案]B 解析]∵0≤0<2π,且sin0>0,∴0<0π 又由c02>0得,2km-2<20<2kx+x, 即{一0k+(k∈Z.∵:00x, ∴θ的取值范围是0<0<,或<0<π 填空题 11.使得lg( cost tan)有意义的角θ是第象限角 [答案]一或二 [解析]要使原式有意义,必须cosθtan0>0,即需coso、tanO同号,∵θ是第一或第二象
[解析] ∵|cosθ|＝cosθ，∴cosθ≥0， 又|tanθ|＝－tanθ，∴tanθ≤0， ∴2kπ＋ 3π 2 <θ≤2kπ＋2π， ∴kπ＋ 3π 4 < θ 2 ≤kπ＋π，k∈Z.∴应选 D. 9．y＝ sinx＋lgcosx tanx 的定义域为( ) A．2kπ≤x≤2kπ＋ π 2 B．2kπ<x<2kπ＋ π 2 C．2kπ<x<(2k＋1)π D．2kπ－ π 2 <x<2kπ＋ π 2 (以上 k∈Z) [答案] B [解析] ∵ sinx≥0 cosx>0 tanx≠0 x≠kπ＋ π 2 ，k∈Z ， ∴2kπ<x<2kπ＋ π 2 ，k∈Z. 10．设 0≤θ<2π，如果 sinθ>0 且 cos2θ>0，则 θ 的取值范围是( ) A．0<θ< 3π 4 B．0<θ< π 4 或 3π 4 <θ<π C.3π 4 <θ<π D.3π 4 <θ< 5π 4 [答案] B [解析] ∵0≤θ<2π，且 sinθ>0，∴0<θ<π. 又由 cos2θ>0 得，2kπ－ π 2 <2θ<2kπ＋ π 2 ， 即 kπ－ π 4 <θ<kπ＋ π 4 (k∈Z)．∵0<θ<π， ∴θ 的取值范围是 0<θ< π 4 或 3π 4 <θ<π. 二、填空题 11．使得 lg(cosθ·tanθ)有意义的角 θ 是第______象限角． [答案] 一或二 [解析] 要使原式有意义，必须 cosθ·tanθ>0，即需 cosθ、tanθ 同号，∴θ 是第一或第二象
限角 12.若750°角的终边上有一点(-4,a),则a的值是 4 [答案] [解析]∵tan750°=tan(360°×2+30°) 4 13.已知角a的终边在直线y=x上,则sina+cosa的值为 答案]±2 [解析]在角a终边上任取一点P(x,y),则y=x, sina-t cosa rr 2 2 当x0时,r=P2+y=-V, sIna-T cosa 2-￥2= 判断符号,填“>”或 答案] [解析]3≤π,π KoI <2π,∴sin3>0,cos4<0,tan5<0,∴sin3cos4tan5>0 三、解答题 15.求函数y=√-cosx+snx的定义域 [解析]要使函数有意义,则需 2机x+≤x≤2+(k∈Z) lsnx≥0,即2 h≤x≤2kx+x(k∈Z ∵2k+≤x≤2kπ+(k∈Z) ∴函数的定义域为{x2x+≤x≤2+,k∈ 16.已知P(-2,y是角a终边上一点,且smn=~ 求cosa的值 解析]∵r=4+y2
限角． 12．若 750°角的终边上有一点(－4，a)，则 a 的值是________． [答案] － 4 3 3 [解析] ∵tan750°＝tan(360°×2＋30°) ＝tan30°＝ 3 3 ＝ a －4 . ∴a＝ 3 3 ×(－4)＝ －4 3 3 . 13．已知角 α 的终边在直线 y＝x 上，则 sinα＋cosα 的值为________． [答案] ± 2 [解析] 在角 α 终边上任取一点 P(x，y)，则 y＝x， 当 x>0 时，r＝ x 2＋y 2＝ 2x， sinα＋cosα＝ y r ＋ x r ＝ 2 2 ＋ 2 2 ＝ 2， 当 x<0 时，r＝ x 2＋y 2＝－ 2x， sinα＋cosα＝ y r ＋ x r ＝－ 2 2 － 2 2 ＝－ 2. 14．判断符号，填“>”或“<”： sin3·cos4·tan5________0. [答案] > [解析] π 2 <3<π，π<4<3π 2 ， 3π 2 <5<2π，∴sin3>0，cos4<0，tan5<0，∴sin3cos4tan5>0. 三、解答题 15．求函数 y＝ －cosx＋ sinx的定义域． [解析] 要使函数有意义，则需 －cosx≥0 sinx≥0 ，即 2kπ＋ π 2 ≤x≤2kπ＋ 3 2 π(k∈Z) 2kπ≤x≤2kπ＋π(k∈Z) ， ∴2kπ＋ π 2 ≤x≤2kπ＋π(k∈Z)， ∴函数的定义域为{x|2kπ＋ π 2 ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}． 16．已知 P(－2，y)是角 α 终边上一点，且 sinα＝－ 5 5 ，求 cosα 的值． [解析] ∵r＝ 4＋y 2
∴sina 5 y<∞0,;y=-1,r=√5, 2√5 . cosd- 17.已知角a的终边过点(3a-9,a+2)且coa≤0,sina>0,求角a的取值范围 [解析]∵cosa≤0,sin∞>0 ∴角a的终边在第二象限或y轴非负半轴上 ∵a终边过(3a-9,a+2) ∴-2<≤3. la+2>0 设O是第三象限角,且满足1==试判断所在象限 [解析]∵θ是第三象限角, ∴2kπ+<0<2k+π,k∈Z k∈Z. ∴在第二、四象限内 又:} ∴为第四象限角
∴sinα＝ y r ＝ y y 2＋4 ＝－ 5 5 ， ∵y<0，∴y＝－1，r＝ 5， ∴cosα＝ x r ＝ －2 5 ＝－ 2 5 5 . 17．已知角 α 的终边过点(3a－9，a＋2)且 cosα≤0，sinα>0，求角 α 的取值范围． [解析] ∵cosα≤0，sinα>0， ∴角 α 的终边在第二象限或 y 轴非负半轴上， ∵α 终边过(3a－9，a＋2)， ∴ 3a－9≤0 a＋2＞0 ，∴－2<a≤3. 18．设 θ 是第三象限角，且满足 sin θ 2 ＝－sinθ 2 ，试判断θ 2 所在象限． [解析] ∵θ 是第三象限角， ∴2kπ＋π<θ<2kπ＋ 3 2 π，k∈Z. ∴kπ＋ π 2 < θ 2 <kπ＋ 3 4 π，k∈Z. ∴ θ 2 在第二、四象限内． 又∵ sin θ 2 ＝－sinθ 2 ，∴sinθ 2 ≤0. ∴ θ 2 为第四象限角．