1.2.1.任意角的三角函数( 【学习目标]1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义,了解三角函数是以实数为 自变量的函数.2.借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数值在各象限 内的符号.3.通过对任意角的三角函数定义的理解,掌握终边相同的角的同一三角函数值相 问题导学 知识点一.任意角的三角函数 使锐角a的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,在终边上任取一点P,作PM⊥x 轴于M,设P(x,y),|OP=r 思考1.角a的正弦、余弦、正切分别等于什么? 答案.sina=, cos a tan a=-. 思考2.对确定的锐角a,sina,cosa,tana的值是否随P点在终边上的位置的改变 而改变? 答案.不会因为三角函数值是比值,其大小与点P(x,y在终边上的位置无关,只与角a的 终边位置有关,即三角函数值的大小只与角有关 思考3在思考1中,当取|OP=1时,sina,cosa,tana的值怎样表示? 答案.sina=y,cosa=x,tan 梳理.(1)单位圆 在直角坐标系中,我们称以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆为单位 (2)定义 在平面直角坐标系中,设a是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么: ①y叫做a的正弦,记作sina 即sina=y ②x叫做a的余弦,记作cosa,即cosa=x; ③叫做a的正切,记作tna,即tana=2(x≠0) 对于确定的角α,上述三个值都是唯一确定的.故正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以
... ... 1.2.1.任意角的三角函数(一) 学习目标 .1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角函数是以实数为 自变量的函数.2.借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数值在各象限 内的符号.3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同的角的同一三角函数值相 等. 知识点一.任意角的三角函数 使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，作PM⊥x 轴于 M，设 P(x，y)，|OP|＝r. 思考 1.角 α 的正弦、余弦、正切分别等于什么？ 答案.sin α＝ y r ，cos α＝ x r ，tan α＝ y x . 思考 2.对确定的锐角 α，sin α，cos α，tan α 的值是否随 P 点在终边上的位置的改变 而改变？ 答案.不会.因为三角函数值是比值，其大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只与角α的 终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关. 思考 3.在思考 1 中，当取|OP|＝1 时，sin α，cos α，tan α 的值怎样表示？ 答案. sin α＝y，cos α＝x，tan α＝ y x . 梳理.(1)单位圆 在直角坐标系中，我们称以原点 O 为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆. (2)定义 在平面直角坐标系中，设 α 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x，y)，那么： ①y 叫做 α 的正弦，记作 sin α， 即 sin α＝y； ②x 叫做 α 的余弦，记作 cos α，即 cos α＝x； ③ y x 叫做 α 的正切，记作 tan α，即 tan α＝ y x (x≠0). 对于确定的角 α，上述三个值都是唯一确定的.故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以
单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,统称为三角函数 知识点二.正弦、余弦、正切函数的定义域 思考.对于任意角a,sina,cosa,tana都有意义吗? 答案.由三角函数的定义可知,对于任意角a,sina,cosa都有意义,而当角a的终边 在y轴上时,任取一点P,其横坐标x都为0,此时无意义,故tana无意义 梳理.三角函数的定义域 函数名 定义域 正弦函数 余弦函数 正切函数{xx∈R,且x≠k+-,k∈Z 知识点三.正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号 思考.根据三角函数的定义,你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗? 答案.由三角函数定义可知,在平面直角坐标系中,设a是一个任意角,它的终边与单位圆 交于点P(x,y),则sina=y,cosa=x,tana=-.当a为第一象限角时,y>0,x>0, 故sina>0,cosa>0,tana>0,同理可得当a在其他象限时三角函数值的符号,如图 tan (r 梳理.记忆口诀: 全正,二正弦,三正切,四余弦” 知识点四.诱导公式 思考.当角a分别为30°,390°,-330°时,它们的终边有什么特点?它们的三角函数值 答案.它们的终边重合.由三角函数的定义知,它们的三角函数值相等 梳理.诱导公式 in(a+k·2r)=sin cos(a+k·2π)=cos tan(a+k·2)=tan
... ... 单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数. 知识点二.正弦、余弦、正切函数的定义域 思考.对于任意角 α，sin α，cos α，tan α 都有意义吗？ 答案.由三角函数的定义可知，对于任意角 α，sin α，cos α 都有意义，而当角 α 的终边 在 y 轴上时，任取一点 P，其横坐标 x 都为 0，此时y x 无意义，故 tan α 无意义. 梳理.三角函数的定义域 函数名 定义域 正弦函数 R 余弦函数 R 正切函数 x|x∈R，且x≠kπ＋ π 2 ，k∈Z 知识点三.正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号 思考.根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗？ 答案.由三角函数定义可知，在平面直角坐标系中，设 α 是一个任意角，它的终边与单位圆 交于点 P(x，y)，则 sin α＝y，cos α＝x，tan α＝ y x .当 α 为第一象限角时，y>0， x>0， 故 sin α>0，cos α>0，tan α>0，同理可得当 α 在其他象限时三角函数值的符号，如图 所示. 梳理.记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”. 知识点四.诱导公式一 思考.当角α分别为30°，390°，－330°时，它们的终边有什么特点？它们的三角函数值 呢？ 答案.它们的终边重合.由三角函数的定义知，它们的三角函数值相等. 梳理.诱导公式一 sin(α＋k·2π) ＝sin α， cos(α＋k·2π) ＝cos α， tan(α＋k·2π) ＝tan
其中k∈Z. 2题型探究 类型一.三角函数定义的应用 命题角度1.已知角a终边上一点坐标求三角函数值 例1.已知终边上一点P(x,3)(x≠0),且Cs0=10x,求sin 0, 解.由题意知r=|P=yx2+9, 由三角函数定义得cs=x=x 又∵cosb x=±1 当x=1时,P(1,3), 此时sinO 当x=-1时,P(-1,3), 此时sin lo,tan 0- 反思与感悟.(1)已知角a终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法: ①先利用直线与单位圆相交,求出交点坐标,然后再利用正、余弦函数的定义求出相应地三 角函数值 ②在a的终边上任选一点P(x,y),设P到原点的距离为r(r>0),则sina=,cosa= 当已知a的终边上一点求a的三角函数值时,用该方法更方便 (2)当角a的终边上点的坐标以参数形式给出时,要根据问题的实际情况对参数进行分类讨 论 跟踪训练1.已知角a的终边过点P(-3a,4a)(a≠0),求2sina+cosa的值. 解.r=V(-3a)2+(4a2=5|a| ①若a>0,则r=5a,角a在第二象限 4a4 3 sin a cos a
... ... α， 其中 k∈Z. 类型一.三角函数定义的应用 命题角度 1.已知角 α 终边上一点坐标求三角函数值 例 1.已知 θ 终边上一点 P(x，3)(x≠0)，且 cos θ＝ 10 10 x，求 sin θ，tan θ. 解.由题意知 r＝|OP|＝ x 2＋9， 由三角函数定义得 cos θ＝ x r ＝ x x 2＋9 . 又∵cos θ＝ 10 10 x，∴ x x 2＋9 ＝ 10 10 x. ∵x≠0，∴x＝±1. 当 x＝1 时，P(1，3)， 此时 sin θ＝ 3 1 2＋3 2＝ 3 10 10 ，tan θ＝ 3 1 ＝3. 当 x＝－1 时，P(－1，3)， 此时 sin θ＝ 3 (－1) 2＋3 2＝ 3 10 10 ，tan θ＝ 3 －1 ＝－3. 反思与感悟.(1)已知角 α 终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法： ①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应地三 角函数值. ②在 α 的终边上任选一点 P(x，y)，设 P 到原点的距离为 r(r>0)，则 sin α＝ y r ，cos α＝ x r .当已知 α 的终边上一点求 α 的三角函数值时，用该方法更方便. (2)当角 α 的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨 论. 跟踪训练 1.已知角 α 的终边过点 P(－3a，4a)(a≠0)，求 2sin α＋cos α 的值. 解.r＝ (－3a) 2＋(4a) 2＝5|a|. ①若 a>0，则 r＝5a，角 α 在第二象限， sin α＝ y r ＝ 4a 5a ＝ 4 5 ，cos α＝ x r ＝ －3a 5a ＝－ 3 5
∴2sina+cosa=3 ②若a0,则r=-5a,角a在第四象限, 3a3 5’cosa 2sin a+cos a=-=+ 综上所述,2sina+cosa=±1 命题角度2.已知角a终边所在直线求三角函数值 例2.已知角a的终边在直线=-3x上,求10ma+—3的值 解.由题意知,cosa≠0 设角a的终边上任一点为P(k,一3k)(k≠0),则 x=k,y=-3k,r=√F+(-34)=10| 1)当A>0时,r=y10k,a是第四象限角, sin ay 10 10sin at-3 10 =-310+310=0 (2)当k0时,r=-√10k,a是第二象限角, sin a= 10k 1=Y0k cos a X .10s 10 +3×(-10) cos a =310-3 综上所述,10sina+ 0. 反思与感悟.在解决有关角的终边在直线上的问题时,应注意到角的终边为射线,所以应分 两种情况处理,取射线上异于原点的任意一点的坐标的(a,b),则对应角的三角函数值分别 b 为sina a2+b2 a2+b2 跟踪训练2.已知角a的终边在直线=√3x上,求sina,cosa,tana的值 解因为角a的终边在直线=x上
... ... ∴2sin α＋cos α＝ 8 5 － 3 5 ＝1. ②若 a<0，则 r＝－5a，角 α 在第四象限， sin α＝ 4a －5a ＝－ 4 5 ，cos α＝ －3a －5a ＝ 3 5 ， ∴2sin α＋cos α＝－ 8 5 ＋ 3 5 ＝－1. 综上所述，2sin α＋cos α＝±1. 命题角度 2.已知角 α 终边所在直线求三角函数值 例 2.已知角 α 的终边在直线 y＝－3x 上，求 10sin α＋ 3 cos α 的值. 解.由题意知，cos α≠0. 设角 α 的终边上任一点为 P(k，－3k)(k≠0)，则 x＝k，y＝－3k，r＝ k 2＋(－3k) 2＝ 10|k|. (1)当 k>0 时，r＝ 10k，α 是第四象限角， sin α＝ y r ＝ －3k 10k ＝－ 3 10 10 ， 1 cos α ＝ r x ＝ 10k k ＝ 10， ∴10sin α＋ 3 cos α ＝10× － 3 10 10 ＋3 10 ＝－3 10＋3 10＝0. (2)当 k<0 时，r＝－ 10k，α 是第二象限角， sin α＝ y r ＝ －3k － 10k ＝ 3 10 10 ， 1 cos α ＝ r x ＝ － 10k k ＝－ 10， ∴10sin α＋ 3 cos α ＝10× 3 10 10 ＋3×(－ 10) ＝3 10－3 10＝0. 综上所述，10sin α＋ 3 cos α ＝0. 反思与感悟.在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分 两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标的(a，b)，则对应角的三角函数值分别 为 sin α＝ b a 2＋b 2，cos α＝ a a 2＋b 2，tan α＝ b a . 跟踪训练 2.已知角 α 的终边在直线 y＝ 3x 上，求 sin α，cos α，tan α 的值. 解.因为角 α 的终边在直线 y＝ 3x 上
所以可设P(a,飞3a)(a≠0)为角a终边上任意一点 则r=√a+(ay=2|a1(a≠0) 若a>0,则a为第一象限角,r=2a, 所以sina Y3a y3 cos a= tan a= 若a<0,则a为第三象限角,r=-2a, 所以sina cos a 2a=-2 tan a 类型二.三角函数值符号的判断 例3.(1)若a是第二象限角,则点P(sina,cosa)在(.) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案.D 解析.∵a为第二象限角,∴sina>0,cosa<0, 点P在第四象限,故选D. (2)确定下列各三角函数值的符号 ①sin182":②cos(-43°);③tan7x 解.①∵182°是第三象限角 sin182°是负的,符号是“一” ②∵∴-43°是第四象限角 cos(-43°)是正的,符号是“+” ③∵∴,是第四象限角 tan,是负的,符号是“一” 反思与感悟.角的三角函数值的符号由角的终边所在位置确定,解题的关键是准确确定角的 终边所在的象限,同时牢记各三角函数值在各象限的符号,记忆口诀:一全正,二正弦
... ... 所以可设 P(a， 3a)(a≠0)为角 α 终边上任意一点， 则 r＝ a 2＋( 3a) 2＝2|a|(a≠0). 若 a>0，则 α 为第一象限角，r＝2a， 所以 sin α＝ 3a 2a ＝ 3 2 ， cos α＝ a 2a ＝ 1 2 ， tan α＝ 3a a ＝ 3. 若 a<0，则 α 为第三象限角，r＝－2a， 所以 sin α＝ 3a －2a ＝－ 3 2 ， cos α＝－ a 2a ＝－ 1 2 ， tan α＝ 3a a ＝ 3. 类型二.三角函数值符号的判断 例 3.(1)若 α 是第二象限角，则点 P(sin α，cos α)在(..) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案.D 解析.∵α 为第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0， ∴点 P 在第四象限，故选 D. (2)确定下列各三角函数值的符号. ①sin 182°；②cos(－43°)；③tan7π 4 . 解.①∵182°是第三象限角， ∴sin 182°是负的，符号是“－”. ②∵－43°是第四象限角， ∴cos(－43°)是正的，符号是“＋”. ③∵7π 4 是第四象限角， ∴tan 7π 4 是负的，符号是“－”. 反思与感悟.角的三角函数值的符号由角的终边所在位置确定，解题的关键是准确确定角的 终边所在的象限，同时牢记各三角函数值在各象限的符号，记忆口诀：一全正，二正弦，三