1.2.1.任意角的三角函数(二) 【学习目标]1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.2.了解三角函数线的意义,能用三角函 数线表示一个角的正弦、余弦和正切.3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题 问题导学 知识点一.三角函数的定义域 思考.正切函数y=tanx为什么规定x∈R且x≠kx+。,k∈Z? 答案当x=kπ+,k∈z时,角x的终边在y轴上,此时任取终边上一点P0,y),因为 无意义,因而x的正切值不存在所以对正切函数y=tanx,必须要求x∈R且x≠kx+ k∈Z 梳理.正弦函数y=sinx的定义域是R:余弦函数y=cosx的定义域是R:正切函数y=tan 的定义域是{xx∈R且x≠kI+一,k∈Z 知识点二.三角函数线 思考1.在平面直角坐标系中,任意角a的终边与单位圆交于点P,过点P作PM⊥x轴,过点 A(1,0)作单位圆的切线,交a的终边或其反向延长线于点T,如图所示,结合三角函数的定 义,你能得到sina,cosa,tana与M,OM,AT的关系吗? 的 A(1,0) 答案.sina=M,cosa=OM,tana=AT. 思考2.三角函数线的方向是如何规定的? 答案.方向与x轴或y轴的正方向一致的为正值,反之,为负值 思考3.三角函数线的长度和方向各表示什么? 答案.长度等于三角函数值的绝对值,方向表示三角函数值的正负 梳理
... ... 1.2.1.任意角的三角函数(二) 学习目标 .1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.2.了解三角函数线的意义,能用三角函 数线表示一个角的正弦、余弦和正切.3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题. 知识点一.三角函数的定义域 思考.正切函数 y=tan x 为什么规定 x∈R 且 x≠kπ+ π 2 ,k∈Z? 答案.当 x=kπ+ π 2 ,k∈Z 时,角 x 的终边在 y 轴上,此时任取终边上一点 P(0,yP),因为 yP 0 无意义,因而 x 的正切值不存在.所以对正切函数 y=tan x,必须要求 x∈R 且 x≠kπ+ π 2 ,k∈Z. 梳理.正弦函数 y=sin x 的定义域是 R;余弦函数 y=cos x 的定义域是 R;正切函数 y=tan x 的定义域是{x|x∈R 且 x≠kπ+ π 2 ,k∈Z}. 知识点二.三角函数线 思考 1.在平面直角坐标系中,任意角 α 的终边与单位圆交于点 P,过点 P 作 PM⊥x 轴,过点 A(1,0)作单位圆的切线,交α的终边或其反向延长线于点T,如图所示,结合三角函数的定 义,你能得到 sin α,cos α,tan α 与 MP,OM,AT 的关系吗? 答案. sin α=MP,cos α=OM,tan α=AT. 思考 2.三角函数线的方向是如何规定的? 答案. 方向与 x 轴或 y 轴的正方向一致的为正值,反之,为负值. 思考 3.三角函数线的长度和方向各表示什么? 答案. 长度等于三角函数值的绝对值,方向表示三角函数值的正负. 梳理
的终边,y A(1,0) 图示 A(1,0) a的终边 a的终边 角a的终边与单位圆交于点P,过点P作PM垂直于x轴,有向 正弦线 线段M即为正弦线 余弦线有向线段OM即为余弦线 「过点A(,0)作单位圆的切线,这条切线必然平行于y轴,设它与 正切线 a的终边或其反向延长线相交于点7,有向线段A7即为正切线 题型探究 类型一.三角函数线 例1.作出一的正弦线、余弦线和正切线 解.如图所示, 5 5π 反思与感悟.(1)作正弦线、余弦线时,首先找到角的终边与单位圆的交点,然后过此交点作 轴的垂线,得到垂足,从而得到正弦线和余弦线 (2)作正切线时,应从点A(1,0)引单位圆的切线交角的终边或终边的反向延长线于一点T
... ... 图示 正弦线 角 α 的终边与单位圆交于点 P,过点 P 作 PM 垂直于 x 轴,有向 线段 MP 即为正弦线 余弦线 有向线段 OM 即为余弦线 正切线 过点 A(1,0)作单位圆的切线,这条切线必然平行于 y 轴,设它与 α 的终边或其反向延长线相交于点 T,有向线段 AT 即为正切线 类型一.三角函数线 例 1.作出-5π 8 的正弦线、余弦线和正切线. 解.如图所示, sin - 5π 8 =MP, cos - 5π 8 =OM, tan - 5π 8 =AT. 反思与感悟.(1)作正弦线、余弦线时,首先找到角的终边与单位圆的交点,然后过此交点作 x 轴的垂线,得到垂足,从而得到正弦线和余弦线. (2)作正切线时,应从点 A(1,0)引单位圆的切线交角的终边或终边的反向延长线于一点 T
即可得到正切线AT 跟踪训练1.在单位圆中画出满足sina=。的角a的终边,并求角a的取值集合 解已知角的正弦值,可知2则P点级坐标为所以在y轴上取点(Q,过这点 作x轴的平行线,交单位圆于B,P两点,则mB,OP是角a的终边,因而角a的取值集 5 合为{a|a=2kx+或a=2k36k∈Z 类型二.利用三角函数线比较大小 例2利用三角函数线比较sin2互和4 2 21 5c0s和c5tan2。和tan5的大小 解.如图,sin om, ta ta 显然|M>MP|,符号皆正, 2 ∴ 4 cM|oMr|,符号皆负,∴cos3)co5 An>Ar|,符号皆负,∴tan="<tan- 反思与感悟.利用三角函数线比较三角函数值的大小时,一般分三步:(1)角的位置要“对号 入座”:(2)比较三角函数线的长度;(3)确定有向线段的正负 跟踪训练2.比较sin1155°与sin(-1654°)的大小 解.sin1155°=sin(3×360°+75°)=sin75° sin(-1654°)=sin(-5×360°+146°)=sin14 如图,在单位圆中,分别作出sin75°和sin146°的正弦线MB,MB
... ... 即可得到正切线 AT. 跟踪训练 1.在单位圆中画出满足 sin α= 1 2 的角 α 的终边,并求角 α 的取值集合. 解.已知角 α 的正弦值,可知 MP= 1 2 ,则 P 点纵坐标为1 2 .所以在 y 轴上取点 0, 1 2 ,过这点 作 x 轴的平行线,交单位圆于 P1,P2 两点,则 OP1,OP2 是角 α 的终边,因而角 α 的取值集 合为{α|α=2kπ+ π 6 或 α=2kπ+ 5π 6 ,k∈Z}. 类型二.利用三角函数线比较大小 例 2.利用三角函数线比较 sin 2π 3 和 sin 4π 5 ,cos 2π 3 和 cos 4π 5 ,tan 2π 3 和 tan 4π 5 的大小. 解.如图,sin 2π 3 =MP,cos 2π 3 =OM,tan 2π 3 =AT,sin 4π 5 =M′P′,cos 4π 5 =OM′, tan 4π 5 =AT′. 显然|MP|>|M′P′|,符号皆正, ∴sin 2π 3 >sin 4π 5 ; |OM|<|OM′|,符号皆负,∴cos 2π 3 >cos 4π 5 ; |AT|>|AT′|,符号皆负,∴tan 2π 3 <tan 4π 5 . 反思与感悟.利用三角函数线比较三角函数值的大小时,一般分三步:(1)角的位置要“对号 入座”;(2)比较三角函数线的长度;(3)确定有向线段的正负. 跟踪训练 2.比较 sin 1 155°与 sin(-1 654°)的大小. 解.sin 1 155°=sin(3×360°+75°)=sin 75°, sin(-1 654°)=sin(-5×360°+146°)=sin 146°. 如图,在单位圆中,分别作出 sin 75°和 sin 146°的正弦线 M1P1,M2P2
∵MP>属P2,且符号皆正 sin1155°>sin(-1654°) 类型三.利用三角函数线解不等式(组) 命题角度1.利用三角函数线解不等式(组) 例3.在单位圆中画出适合下列条件的角a的终边的范围,并由此写出角a的集合 (2)cosa≤ 解.(1)作直线y=y交单位圆于A,B两点,连接O,B,则与OB围成的区域(如图(1) 所示的阴影部分,包括边界),即为角a的终边的范围 故满足要求的角a的集合为{a|2k+。≤a≤2kI+=。,k∈Z)} (2)作直线x=一交单位圆于C,D两点,连接OC与OD,则OC与OD围成的区域(如图(2)所 示的阴影部分,包括边界),即为角a的终边的范围 故满足条件的角a的集合为{a|2kx+=≤a≤2k+-。,k∈Z} 反思与感悟.用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式,应注意以下两点 (1)先找到“正值”区间,即0~2π内满足条件的角θ的范围,然后再加上周期 (2)注意区间是开区间还是闭区间. 跟踪训练3.已知一≤c0s0<,利用单位圆中的三角函数线,确定角的取值范围 解.图中阴影部分就是满足条件的角θ的范围,即 2 0|2k一5≤0<2k-。或2kI+<0≤2km+5π,k∈Z 命题角度2.利用三角函数线求三角函数的定义域 例4.求下列函数的定义域
... ... ∵M1P1>M2P2,且符号皆正, ∴sin 1 155°>sin(-1 654°). 类型三.利用三角函数线解不等式(组) 命题角度 1.利用三角函数线解不等式(组) 例 3.在单位圆中画出适合下列条件的角 α 的终边的范围,并由此写出角 α 的集合. (1)sin α≥ 3 2 ;.(2)cos α≤- 1 2 . 解.(1)作直线 y= 3 2 交单位圆于 A,B 两点,连接 OA,OB,则 OA 与 OB 围成的区域(如图(1) 所示的阴影部分,包括边界),即为角 α 的终边的范围. 故满足要求的角 α 的集合为{α|2kπ+ π 3 ≤α≤2kπ+ 2π 3 ,k∈Z}. (2)作直线 x=- 1 2 交单位圆于 C,D 两点,连接 OC 与 OD,则 OC 与 OD 围成的区域(如图(2)所 示的阴影部分,包括边界),即为角 α 的终边的范围. 故满足条件的角 α 的集合为{α|2kπ+ 2π 3 ≤α≤2kπ+ 4π 3 ,k∈Z}. 反思与感悟.用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式,应注意以下两点: (1)先找到“正值”区间,即 0~2π 内满足条件的角 θ 的范围,然后再加上周期; (2)注意区间是开区间还是闭区间. 跟踪训练 3.已知-1 2 ≤cos θ< 3 2 ,利用单位圆中的三角函数线,确定角 θ 的取值范围. 解.图中阴影部分就是满足条件的角 θ 的范围,即 {θ|2kπ- 2 3 π≤θ<2kπ- π 6 或 2kπ+ π 6 <θ≤2kπ+ 2 3 π,k∈Z}. 命题角度 2.利用三角函数线求三角函数的定义域 例 4.求下列函数的定义域
(1)y=v2sin x-\3 2)y=1(simx-¥2+√-20s5元 解(1)自变量x应满足2sinx-V≥0, 即sinx≥ 3 图中阴影部分就是满足条件的角x的范围,即{x|2k+ ≤2k+一,k∈Z 是多 「1-2cosx≥0 (2)由题意知,自变量x应满足不等式组 sin x->0 cosx≤ sIn 则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示 {x2k+≤x2k+ 反思与感悟.(1)求函数的定义域,就是求使解析式有意义的自变量的取值范围,一般通过解 不等式或不等式组求得,对于三角函数的定义域问题,还要考虑三角函数自身定义域的限 (2)要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时,可以取特殊值把不固 定的集合写成若干个固定集合再求交集 跟踪训练4.求函数f()= /2sin x-1的定义域
... ... (1)y= 2sin x- 3; (2)y=lg(sin x- 2 2 )+ 1-2cos x. 解.(1)自变量 x 应满足 2sin x- 3≥0, 即 sin x≥ 3 2 . 图中阴影部分就是满足条件的角 x 的范围,即{x|2kπ+ π 3 ≤x≤2kπ+ 2π 3 ,k∈Z}. (2)由题意知,自变量 x 应满足不等式组 1-2cos x≥0, sin x- 2 2 >0, 即 cos x≤ 1 2 , sin x> 2 2 . 则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示, ∴{x|2kπ+ π 3 ≤x<2kπ+ 3π 4 ,k∈Z}. 反思与感悟.(1)求函数的定义域,就是求使解析式有意义的自变量的取值范围,一般通过解 不等式或不等式组求得,对于三角函数的定义域问题,还要考虑三角函数自身定义域的限 制. (2)要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时,可以取特殊值把不固 定的集合写成若干个固定集合再求交集. 跟踪训练 4.求函数 f(x)= 2sin x-1的定义域