【高中数学】新人教版高中数学任意角的三角函数教案必修四 、教学目标: 1、知识与技能 (1)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域 和函数值在各象限的符号);(2)理解任意角的三角函数不同的定义方法;(3) 了解如何利用与单位圆有关的有向线段,将任意角a的正弦、余弦、正切函数 值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来;(4)掌握并能初步运用公式一;(5) 树立映射观点,正确理解三角函数是以实数为自变量的函数 2、过程与方法 初中学过:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数.引 导学生把这个定义推广到任意角,通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函 数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别 探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.最后主要是借 助有向线段进一步认识三角函数.讲解例题,总结方法,巩固练习 、情态与价值 任意角的三角函数可以有不同的定义方法,而且各种定义都有自己的特点 过去习惯于用角的终边上点的坐标的“比值”来定义,这种定义方法能够表现 出从锐角三角函数到任意角的三角函数的推广,有利于引导学生从自己已有认 知基础出发学习三角函数,但它对准确把握三角函数的本质有一定的不利影响, “从角的集合到比值的集合”的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的“数 集到数集”的对应关系有冲突,而且“比值”需要通过运算才能得到,这与函 1/11
凡读书.须要读得字字响亮，不可误一字，不可少一字，不可多一字，不可倒一字，不可牵强暗记，只是要多诵数遍，自然上口，久远不忘。古人云，“读书百遍，其义自见” 。谓读得熟，则不待解说，自晓其义也。余尝谓，读书有三到，谓心到，眼到，口到。 邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：“童子何泣？”原曰：“孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。”师恻然曰：“欲书可耳! ”原曰：“无钱资。”师曰：“童子苟有志, 吾徒相教,不求资也。 1 / 11 【高中数学】新人教版高中数学任意角的三角函数教案必修四 一、教学目标： 1、知识与技能 （1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域 和函数值在各象限的符号）；（2）理解任意角的三角函数不同的定义方法；（3） 了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数 值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；（4）掌握并能初步运用公式一；（5） 树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数. 2、过程与方法 初中学过:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数.引 导学生把这个定义推广到任意角,通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函 数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别 探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.最后主要是借 助有向线段进一步认识三角函数.讲解例题，总结方法，巩固练习. 3、情态与价值 任意角的三角函数可以有不同的定义方法，而且各种定义都有自己的特点. 过去习惯于用角的终边上点的坐标的“比值”来定义，这种定义方法能够表现 出从锐角三角函数到任意角的三角函数的推广，有利于引导学生从自己已有认 知基础出发学习三角函数，但它对准确把握三角函数的本质有一定的不利影响， “从角的集合到比值的集合”的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的“数 集到数集”的对应关系有冲突，而且“比值”需要通过运算才能得到，这与函
数值是一个确定的实数也有不同,这些都会影响学生对三角函数概念的理解. 本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数这个定义清 楚地表明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系,也表明了这 两个函数之间的关系 教学重、难点 重点:任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域 和函数值在各象限的符号);终边相同的角的同一三角函数值相等(公式一) 难点:任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域 和函数值在各象限的符号);三角函数线的正确理解. 三、学法与教学用具 任意角的三角函数可以有不同的定义方法,本节利用单位圆上点的坐标定 义任意角的正弦函数、余弦函数.表明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之 间的对应关系,也表明了这两个函数之间的关系 另外,这样的定义使得三角函数所反映的数与形的关系更加直接,数形结 合更加紧密,这就为后续内容的学习带来方便,也使三角函数更加好用了. 教学用具:投影机、三角板、圆规、计算器 四、教学设想 第一课时任意角的三角函数( 【创设情境】 P(a, b) 提问:锐角O的正弦、余弦、正切怎样表示? 借助右图直角三角形,复习回顾 引入:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数。 数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗 如图,设锐角的顶点与原点重合,始边与轴的正 半轴重合,那aOx a的终边 么它的终边在第一象限.在的终边上任取一点, 2/11
凡读书.须要读得字字响亮，不可误一字，不可少一字，不可多一字，不可倒一字，不可牵强暗记，只是要多诵数遍，自然上口，久远不忘。古人云，“读书百遍，其义自见” 。谓读得熟，则不待解说，自晓其义也。余尝谓，读书有三到，谓心到，眼到，口到。 邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：“童子何泣？”原曰：“孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。”师恻然曰：“欲书可耳! ”原曰：“无钱资。”师曰：“童子苟有志, 吾徒相教,不求资也。 2 / 11 数值是一个确定的实数也有不同，这些都会影响学生对三角函数概念的理解. 本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.这个定义清 楚地表明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也表明了这 两个函数之间的关系. 二、教学重、难点 重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域 和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）. 难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域 和函数值在各象限的符号）；三角函数线的正确理解. 三、学法与教学用具 任意角的三角函数可以有不同的定义方法，本节利用单位圆上点的坐标定 义任意角的正弦函数、余弦函数.表明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之 间的对应关系，也表明了这两个函数之间的关系. 另外，这样的定义使得三角函数所反映的数与形的关系更加直接，数形结 合更加紧密，这就为后续内容的学习带来方便，也使三角函数更加好用了. 教学用具:投影机、三角板、圆规、计算器 四、教学设想 第一课时 任意角的三角函数（一） 【创设情境】 提问：锐角 O 的正弦、余弦、正切怎样表示？ 借助右图直角三角形，复习回顾. 引入：锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。 数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗? 如图,设锐角的顶点与原点重合,始边与轴的正 半轴重合,那 O x 么它的终边在第一象限.在的终边上任取一点, y P（a，b） r O M a的终边 P(x,y ) O x y
它与原点的距离.过作轴的垂线,垂足为,则线段的长度为,线段的长度为 则;aP(ab)r=√a2+b2>0 Pxmom a mp b sin a= MP OP OP r tang= A∥P OM a 思考:对于确定的角,这三个比值是否会随点在的终边上的位置的改变而 改变呢?aPa 显然,我们可以将点取在使线段的长的特殊位置上,这样就可以得到用直 角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数:OPr=1 MP OM MP b sina= b COSC= Opa tana= OM a 思考:上述锐角的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示那么,角的概 念推广以后,我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改,以利推广到任 意角呢?本节课就研究这个问题一一任意角的三角函数.a 【探究新知】 1.探究:结合上述锐角的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角 函数值呢?a 显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为1,然后 就可以类似锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义 在直角坐标系中,我们称以原点为圆心,以单位长度为半径的圆O 2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义? 如图,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么:aP(x,y) (1)叫做的正弦(sine),记做,即; y a sina sina=y (2)叫做的余弦( cosine),记做,即; x a cosa cosa=x (3)叫做的正切( tangent),记做,即.2 a tan a tan a=2(x≠0) 注意:当α是锐角时,此定义与初中定义相同(指出对边,邻边,斜边所在); 3/11
凡读书.须要读得字字响亮，不可误一字，不可少一字，不可多一字，不可倒一字，不可牵强暗记，只是要多诵数遍，自然上口，久远不忘。古人云，“读书百遍，其义自见” 。谓读得熟，则不待解说，自晓其义也。余尝谓，读书有三到，谓心到，眼到，口到。 邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：“童子何泣？”原曰：“孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。”师恻然曰：“欲书可耳! ”原曰：“无钱资。”师曰：“童子苟有志, 吾徒相教,不求资也。 3 / 11 它与原点的距离.过作轴的垂线,垂足为,则线段的长度为,线段的长度为. 则; P a b ( , ) 2 2 r a b = + 0 P x M OM a MP b sin MP b OP r = = cos OM a OP r = = ; . tan MP b OM a = = 思考：对于确定的角，这三个比值是否会随点在的终边上的位置的改变而 改变呢？ P 显然，我们可以将点取在使线段的长的特殊位置上，这样就可以得到用直 角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数： OP r =1 sin MP b OP = = ; ; . cos OM a OP = = tan MP b OM a = = 思考：上述锐角的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概 念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任 意角呢？本节课就研究这个问题――任意角的三角函数. 【探究新知】 1.探究:结合上述锐角的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角 函数值呢? 显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为 1,然后 就可以类似锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义: 在直角坐标系中,我们称以原点为圆心,以单位长度为半径的圆.O 2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义? 如图,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么: P x y ( , ) (1)叫做的正弦(sine),记做,即； y sin sin = y （2）叫做的余弦(cossine),记做,即； x cos cos = x （3）叫做的正切(tangent),记做,即. y x tan tan ( 0) y x x = 注意:当α是锐角时，此定义与初中定义相同（指出对边，邻边，斜边所在）；
当α不是锐角时,也能够找出三角函数,因为,既然有角,就必然有终边,终 边就必然与单位圆有交点,从而就必然能够最终算出三角函数值.P(x,y) 3.思考:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如 何求它的三角函数值呢? 前面我们已经知道,三角函数的值与点在终边上的位置无关,仅与角的大小 有关.我们只需计算点到原点的距离,那 么,,Pr=√x2+y2sia tana=2.所以,三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值 为函数值的函数,又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系,故三 角函数也可以看成实数为自变量的函数 4.例题讲评 例1.求的正弦、余弦和正切值.5z 例2.已知角的终边过点,求角的正弦、余弦和正切值.aP(-3,-4)a 教材给出这两个例题,主要是帮助理解任意角的三角函数定义.我也可以尝 试其他方法 如例2:设则x=-3y=-4r=√-3)2+(-4)2=5 于是 SIna= y 4 cosa= 5.巩固练习第1,2,3题P 6.探究:请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义域 填入下表;再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中 定义域 角函数 第一象限|第二象限第三象限第四象限 角度制 弧度制 sIna 4/11
凡读书.须要读得字字响亮，不可误一字，不可少一字，不可多一字，不可倒一字，不可牵强暗记，只是要多诵数遍，自然上口，久远不忘。古人云，“读书百遍，其义自见” 。谓读得熟，则不待解说，自晓其义也。余尝谓，读书有三到，谓心到，眼到，口到。 邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：“童子何泣？”原曰：“孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。”师恻然曰：“欲书可耳! ”原曰：“无钱资。”师曰：“童子苟有志, 吾徒相教,不求资也。 4 / 11 当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终 边就必然与单位圆有交点，从而就必然能够最终算出三角函数值.P x y ( , ) 3.思考:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如 何求它的三角函数值呢? 前面我们已经知道,三角函数的值与点在终边上的位置无关，仅与角的大小 有 关 . 我 们 只 需 计 算 点 到 原 点 的 距 离 , 那 么,, P 2 2 r x y = + 2 2 sin y x y = + 2 2 cos x x y = + tan y x = .所以，三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值 为函数值的函数，又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故三 角函数也可以看成实数为自变量的函数. 4.例题讲评 例 1.求的正弦、余弦和正切值. 5 3 例 2．已知角的终边过点，求角的正弦、余弦和正切值. 0P ( 3, 4) − − 教材给出这两个例题，主要是帮助理解任意角的三角函数定义.我也可以尝 试其他方法: 如例 2:设则. x y = − = − 3, 4, 2 2 r = − + − = ( 3) ( 4) 5 于是 ,,. 4 sin 5 y r = = − 3 cos 5 x r = = − 4 tan 3 y x = = 5.巩固练习第 1,2,3 题 P17 6.探究:请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义域 填入下表；再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中： 三角函数 定义域 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 角度制 弧度制 sin
cosa tan a 7.例题讲评 例3.求证:当且仅当不等式组成立时,角为第三象限角00 8.思考:根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有和关系? 显然:终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一: cos(a+2kn)=cosa(其中)k∈Z 9.例题讲评 例4.确定下列三角函数值的符号,然后用计算器验证: 1);(2);(3);(4)cos250·sin(-z)tan(-672)tmn3z 例5.求下列三角函数值 (1);(2);(3)sim148010cos.tan(-1z 利用公式一,可以把求任意角的三角函数值,转化为求到(或到)角的三角 函数值.另外可以直接利用计算器求三角函数值,但要注意角度制的问 题.02x0°360 10.巩固练习第4,5,6,7题P 11.学习小结 (1)本章的三角函数定义与初中时的定义有何异同? (2)你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗? (3)请写出各三角函数的定义域; (4)终边相同的角的同一三角函数值有什么关系?你在解题时会准确熟 练应用公式一吗? 五、评价设计 5
凡读书.须要读得字字响亮，不可误一字，不可少一字，不可多一字，不可倒一字，不可牵强暗记，只是要多诵数遍，自然上口，久远不忘。古人云，“读书百遍，其义自见” 。谓读得熟，则不待解说，自晓其义也。余尝谓，读书有三到，谓心到，眼到，口到。 邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：“童子何泣？”原曰：“孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。”师恻然曰：“欲书可耳! ”原曰：“无钱资。”师曰：“童子苟有志, 吾徒相教,不求资也。 5 / 11 cos tan 7．例题讲评 例 3．求证：当且仅当不等式组成立时，角为第三象限角. sin 0 { tan 0 8.思考:根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有和关系? 显然: 终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一: cos( 2 ) cos + = k (其中) k Z 9.例题讲评 例 4.确定下列三角函数值的符号,然后用计算器验证: (1); (2); (3); (4) cos 250 sin( ) 4 − tan( 672 ) − tan3 例 5.求下列三角函数值: (1); (2); (3) ' sin1480 10 9 cos 4 11 tan( ) 6 − 利用公式一,可以把求任意角的三角函数值, 转化为求到(或到)角的三角 函数值. 另外可以直接利用计算器求三角函数值,但要注意角度制的问 题. 0 2 0 360 10.巩固练习第 4,5,6,7 题 P17 11.学习小结 (1)本章的三角函数定义与初中时的定义有何异同? (2)你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗? (3)请写出各三角函数的定义域； (4)终边相同的角的同一三角函数值有什么关系?你在解题时会准确熟 练应用公式一吗? 五、评价设计