课题:3.2.1任意角的三角函数(第一课时) 一数尝月标 1.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义; 2.理解任意角的三角函数不同的定义方法 3.已知角a终边上一点,会求角a的各三角函数值 二教学重难点 重点:任意角的正弦、余弦、正切的定义。 难点:任意角的三角函数不同的定义方法:已知角a终边上一点,会求角a的各三角函数值 三复习回顾: 复习1:用弧度制写出终边在下列位置的角的集合 (1)坐标轴上 (2)第二、四象限 复习2:锐角的三角函数如何定义? 在初中,我们如果要求一个锐角的 三角函数值,经常把这个角放到一个直角三角形 中求其比值,从而得到锐角三角函数的值。那么, 你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标更方便 的去求一个锐角的三角函数值吗?我们可以采用以下方法 如图,设锐角a的顶点与原点O重合,始边与x轴的 非负半轴重合,那么它的终边在第一象限.在a的终边上任取 点P(ab),它与原点的距离r=a2+b2>0.过P作x轴的垂线,垂足为M,则线段OM 的长度为a,线段MP的长度为b.可得: sina=Ap b tan a= OPr OM 四、新课学习 P(ab’) 知识点14三角函数的定义 认真阅读教材P1P12,领会下面的内容: 由相似三角形的知识,对于确定的角a,这三个比值不会 随点P在α的终边上的位置的改变而改变,因此我们 可以将点P取在使线段OP的长为r=1的特殊位置上 MM 这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标 表示的锐角三角函数的值为: COSa= tan a= OP OP 问题:上述锐角a的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以后, 我们应该如何得到任意角的三角函数呢? 显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为1,然后就可以类 似锐角三角函数求值的方法得到该角的三角函数值 注:单位圆:在直角坐标系中,我们称以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆为单位圆. 上述的点P就是a的终边与单位圆的交点,这样锐角三角函数就可以用单位圆上的点的坐 标表示。那么我们可以用同样的方法得到任意角 的三角函数值。 如图,设a是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),a的终边 (1)y叫做a的正弦(sine),记做sina (2)x叫做a的余弦( cosiNe),记做cosa; (3)2叫做a的正切( tangent),记做tana 即:sina=y,cosa=x,tana=2(x≠0
课题：3.2.1 任意角的三角函数（第一课时） 一 教学目标 1. 掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义； 2. 理解任意角的三角函数不同的定义方法； 3. 已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值. 二 教学重难点： 重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义。 难点: 任意角的三角函数不同的定义方法；已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值. 三 复习回顾： 复习 1：用弧度制写出终边在下列位置的角的集合. （1）坐标轴上； （2）第二、四象限. 复习 2：锐角的三角函数如何定义？ 在初中，我们如果要求一个锐角的 三角函数值，经常把这个角放到一个直角三角形 中求其比值，从而得到锐角三角函数的值。那么， 你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标更方便 的去求一个锐角的三角函数值吗？我们可以采用以下方法： 如图，设锐角 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的 非负半轴重合，那么它的终边在第一象限.在 的终边上任取 一点 P a b ( , ) ，它与原点的距离 2 2 r a b = + 0 . 过 P 作 x 轴的垂线，垂足为 M ，则线段 OM 的长度为 a ，线段 MP 的长度为 b .可得： sin MP b OP r = = ； cos = = ， tan MP OM = = . 四、新课学习： 知识点 1：三角函数的定义 认真阅读教材 P11-P12，领会下面的内容： 由相似三角形的知识，对于确定的角 ，这三个比值不会 随点 P 在 的终边上的位置的改变而改变，因此我们 可以将点 P 取在使线段 OP 的长为 r=1 的特殊位置上， 这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标 表示的锐角三角函数的值为： sin MP OP = = _____； cos OM OP = = _____； tan MP OM = = ___ 问题：上述锐角 的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示. 那么，角的概念推广以后， 我们应该如何得到任意角的三角函数呢？ 显然，我们只需在角的终边上找到一个点，使这个点到原点的距离为 1，然后就可以类 似锐角三角函数求值的方法得到该角的三角函数值. 注：单位圆：在直角坐标系中,我们称以原点 O 为圆心,以单位长度为半径的圆为单位圆. 上述的点 P 就是 的终边与单位圆的交点，这样锐角三角函数就可以用单位圆上的点的坐 标表示。那么我们可以用同样的方法得到任意角 的三角函数值。 如图，设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P x y ( , ) ，那么： （1）y 叫做 的正弦(sine)，记做 sin ； （2）x 叫做 的余弦(cossine)，记做 cos ； （3） y x 叫做 的正切(tangent)，记做 tan . 即： sin = y， cos = x ， tan ( 0) y x x = . α M P(a,b) o x y M' P'(a',b') α M P(a,b) o x y
练习:角x与单位圆的交点坐标为 则sin-丌 Cos tan-丌 注:1)当a=x+kx(k∈Z)时,a的终边在y轴上,终边上任意一点的横坐标x都等于0, 所以tana=y无意义 2)三角函数的定义域: y=sin x y=cosx x|x≠kπ+,k∈Z} 确定三角函数的定义域时,要抓住分母不为0这一关键,当角的终边在坐标上时,点P的坐 标中必有一个为0 3)由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系,因而三角函数可以看成是自变量为 实数的函数,正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为 函数,我们将它们统称为三角函数。 探究:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值 根据相似三角形的性质,在直角坐标系中,设a是一个任意角,a终边上任意一点P (除了原点)的坐标为(x,y,它与原点的距离为=√x+1y=√x+y2>0),则 注意:①一个角的三角函数值只与这个角的终边的位置有关,而与点的选取无关。 2为计算方便,我们把半径为1的圆(单位圆)与角的终边的交点选为点的理想位置 典型例题 例:求一角的正弦、余弦和正切值 变式练习 1求一角的正弦、余弦和正切值 小结:作角终边→求角终边与单位圆的交点→利用三角函数定义来求,或在角的终边上找一 个容易找到的点,利用sna=y,cosa=,tana=求三角函数值 2、求一角的正弦、余弦和正切值
练习：角 3 4 与单位圆的交点坐标为 ，则 sin 3 4 = ，cos 3 4 = ， tan 3 4 = . 注：1)当 ( ) 2 k k Z = + 时，α 的终边在 y 轴上，终边上任意一点的横坐标 x 都等于 0， 所以 x y tan = 无意义. 2)三角函数的定义域： 函数 定义域 y = sin x R y = cos x R y = tan x , } 2 π {x | x = kπ + k Z 确定三角函数的定义域时，要抓住分母不为 0 这一关键，当角的终边在坐标上时，点 P 的坐 标中必有一个为 0. 3）由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，因而三角函数可以看成是自变量为 实数的函数,正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为 函数，我们将它们统称为三角函数。 探究：如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值 呢? 根据相似三角形的性质，在直角坐标系中，设 α 是一个任意角，α 终边上任意一点 P （除了原点）的坐标为 ( , ) x y ，它与原点的距离为 2 2 2 2 r r x y x y ( | | | | 0) = + = + ，则： sin y r = ； cos = r x ； tan = x y . 注意：①一个角的三角函数值只与这个角的终边的位置有关，而与点的选取无关。 ②为计算方便，我们把半径为 1 的圆（单位圆）与角的终边的交点选为点的理想位置。 典型例题： 例:求 4 3 角的正弦、余弦和正切值． 变式练习 1 求 5 6 角的正弦、余弦和正切值 小结：作角终边→求角终边与单位圆的交点→利用三角函数定义来求,或在角的终边上找一 个容易找到的点，利用 sin y r = ， cos = r x ， tan = x y 求三角函数值. 2、求 3 5 角的正弦、余弦和正切值
例:已知角a的终边经过点P(4,-3),求sina、cosa、tana的值 练习:已知角a的终边经过点P(-4,-2),求sina、cosa、tana的值; 方法总结:首先判断角的终边是否在单位圆上,再确定做题的方法。 例:已知角a的终边经过点P(4a,-3a)(a≠0),求2sina+cosa的值 例:已知角a的终边在直线y=-3x上,求sina,cosa,tana的值 练习:已知角咚终边上一点P(x3x≠0),且ca_、0,求sn6.cos 例:求y sin x+ cosx 的定义域。 tan x 练习:求函数y=√-cosx+√snx的定义域 当堂检测 2. sin IT 6 √3 3.如果角a的顶点在原点,始边在x轴的正半轴重合,终边在函数y=5x(x<0)的图象上, 那么tana的值为() 4.cos(-309) 5.已知点P(3a,4a)(a≠0)在角a的终边上,则tan
例:已知角 的终边经过点 P(4,－3)，求 sin 、cos 、 tan 的值； 练习：已知角 的终边经过点 P(-4,－2)，求 sin 、cos 、 tan 的值； 方法总结：首先判断角的终边是否在单位圆上，再确定做题的方法。 例：已知角 的终边经过点 P(4a,－3a)(a≠0)，求 2sin +cos 的值； 例：已知角 的终边在直线 y=-3x 上，求 sin ,cos ,tan 的值。 , sin ,cos . 10 10 练习：已知角终边上一点P(x,3)(x 0)，且cos = 求 例：求 的定义域。 x x x y tan sin + cos = 练习：求函数y = − cosx + sin x的定义域。 当堂检测 1. tan( ) 4 − = （ ）. A. 1 B. −1 C. 2 2 D. 2 2 − 2. 7 sin 6 = （ ）. A. 1 2 B. 1 2 − C. 3 2 D. 3 2 − 3. 如果角α的顶点在原点，始边在 x 轴的正半轴重合，终边在函数 y x x = 5 ( 0) 的图象上， 那么 tan 的值为（ ）. A. 5 B. －5 C. 1 5 D. 1 5 − 4. cos( 30 ) − = . 5. 已知点 P a a (3 , 4 ) − ( 0) a 在角α的终边上，则 tan =
课后作业 (一)选择题 1、已知角a的终边过点P(-1,2),cosa的值为 2√5 2、a是第二象限角,P(、5)为其终边上一点,且C05=y12,则sma的值为() 10 A. c 二.填空题 3、角a的终边上有一点P(m,5),且cosa=,,(m≠0),则sina+cosa 4、已知角O的终边在直线y3+上,则sin= tan 6= 三解答题 5、已知角a终边上一点P与x轴的距离和与y轴的距离之比为3:4(且均不为零) 求2sina+cos的值
课后作业： （一）选择题 1、已知角α的终边过点 P（－1,2）,cosα的值为 （ ） A．－ 5 5 B．－ 5 C． 5 2 5 D． 2 5 2、α是第二象限角，P（x, 5 ） 为其终边上一点，且 cosα= 4 2 x，则 sinα的值为 （ ） A． 4 10 B． 4 6 C． 4 2 D．－ 4 10 二．填空题 3、角α的终边上有一点P（m，5），且 ,( 0) 13 cos = m m ，则sinα+cosα=______． 4、已知角θ的终边在直线 y = 3 3 x 上，则 sinθ= ； tan = ． 三 解答题 5、已知角 终边上一点 P 与 x 轴的距离和与 y 轴的距离之比为 3∶4（且均不为零）， 求 2sin +cos 的值．
知识点二:在意角的三角函数值在各象限内的符号 由于r>0,所以任意角的三角函数的符号取决于点P所在的象限 当角a的终边在第一象限时,点P在第一象限,x>0,y>0,所以sina>0,cosa>0,tana>0 当角a的终边在第二象限时,点P在第二象限,x<0,y>0,所以sna>0cosa<0tana<0 当角a的终边在第三象限时,点P在第三象限,x<0,y<0,所以sina<0cosa<0tna>0 当角a的终边在第四象限时,点P在第四象限,x>0,y<0,所以sina<0,cosa>0,tana<0 任意角的三角函数符号的记忆方法: 正弦正 正切正 余弦正 典型例题 例:判定下列各角的各三角函数符号: 27π 3) 5)sn105°c0s230°6cos6sn6 分析关键是判定角所在的象限 练习:判断下列三角函数值的符号 例:根据条件sinb<0且tanθ<0,确定θ是第几象限的角 sin e<o 练习 请你判断是第几象限角? tane>0 练习:书第15页练习 练习:请你求下列各角的三角函数值并背会 丌x2x3x57x5丌4丌3x4x7x5丌11
知识点二：任意角的三角函数值在各象限内的符号： 由于 r 0 ，所以任意角的三角函数的符号取决于点 P 所在的象限． 当角 的终边在第一象限时，点 P 在第一象限， x y 0, 0 ，所以 sin 0,cos 0,tan 0 ； 当角 的终边在第二象限时，点 P 在第二象限， x y 0, 0 ，所以 sin 0,cos 0,tan 0 ； 当角 的终边在第三象限时，点 P 在第三象限， x y 0, 0 ，所以 sin 0,cos 0,tan 0 ； 当角 的终边在第四象限时，点 P 在第四象限， x y 0, 0 ，所以 sin 0,cos 0,tan 0 ． 任意角的三角函数符号的记忆方法： 典型例题： 例：判定下列各角的各三角函数符号： （1）4327 （2 27 5 ． 4 7 4)tan 4 5 3) cos 5)sin 105cos230 6)cos6sin 6 分析 关键是判定角所在的象限． 练习：判断下列三角函数值的符号。 ) 3)tan( 672 ) 4)tan 3 4 1) cos 250 2)sin( − − 例：根据条件 sin 0 且 tan 0 ,确定 是第几象限的角. 练习： 请你判断是第几象限角？ tan 0 sin 0 练习：书第 15 页练习 练习：请你求下列各角的三角函数值并背会： ,2 6 11 , 3 5 , 4 7 , 3 4 , 2 3 , 3 4 , 4 5 , 6 7 , , 6 5 , 4 3 , 3 2 , 2 , 3 , 4 , 6 0, 全正 正切正 余弦正 正弦正 x y o