例1 例2 方程的共性一可归结为同一形式 y”+p(x)y+q(x)y=f(x),为二阶线性微分方程 n阶线性微分方程的一般形式为 ym）+a1(x)ym-l）++an-1(x)y'+an(x)y=f(x) 「f(x)丰0时，称为非齐次方程； f(x)≡0时，称为齐次方程 复习：一阶线性方程y+P(x)y=Q(x) 通解y=Ce-JP@dx+eP(a[O(dx 齐次方程通解Y 非齐次方程特解y HIGH EDUCATION PRESS Oe0C0-8 机动目录上页下页返回结束
n 阶线性微分方程的一般形式为 方程的共性 为二阶线性微分方程. 例1 例2 y + p(x) y + q(x) y = f (x), — 可归结为同一形式: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( 1) 1 ( ) y a x y a x y a x y f x n n n n + + + − + = − 时, 称为非齐次方程 ; f (x) 0 时, 称为齐次方程. 复习: 一阶线性方程 y + P(x) y = Q(x) 通解: − + e Q x e x P x x P x x ( ) d ( )d ( )d − = P x x y C e ( )d 齐次方程通解Y 非齐次方程特解 y f (x) 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、线性齐次方程解的结构 定理1，若函数(x),y2(x)是二阶线性齐次方程 y"+P(x)y'+Q(x)y=0 的两个解，则y=C(x)+C2y2(x)(C1,C2为任意常数) 也是该方程的解.（叠加原理） 证：将y=C(x)+C2y2(x)代入方程左边，得 [C1y”+C22]+P(x[C1+C2y2] +2(x)[C1+C2y21 =Ci[yi+P(x)y+(x)y +C2[3+P(x)y2+Q(x)y2]=0证毕 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
( )[ ] + P x C1 y1 + ( )[ ] + Q x C1 y1 + = 0 证毕 二、线性齐次方程解的结构 ( ), ( ) 1 2 若函数 y x y x 是二阶线性齐次方程 y + P(x) y + Q(x) y = 0 的两个解, 也是该方程的解. 证: ( ) ( ) 1 1 2 2 将 y = C y x + C y x 代入方程左边, 得 [ ] C1 y1 + 2 2 C y 2 2 C y 2 2 C y [ ( ) ( ) ] 1 1 1 1 = C y + P x y + Q x y [ ( ) ( ) ] 2 2 2 2 + C y + P x y + Q x y (叠加原理) ( ) ( ) 1 1 2 2 则 y = C y x + C y x 定理1. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
说明： y=C1y(x)+C2y2(x)不一定是所给二阶方程的通解 例如，y(x)是某二阶齐次方程的解，则 y2(x)=2y(x)也是齐次方程的解 但是 C1(x)+C2y2(x)=(C1+2C2)y(x) 并不是通解 为解决通解的判别问题，下面引入函数的线性相关与 线性无关概念 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
说明: 不一定是所给二阶方程的通解. 例如, 是某二阶齐次方程的解, 也是齐次方程的解 并不是通解 但是 ( ) ( ) 1 1 2 2 y = C y x + C y x 则 为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念. 机动 目录 上页 下页 返回 结束