二维离散型随机变量定义1如果二维随机变量（X,Y）可能取的值为有限对或无限可列多对实数，则称（X,Y）为二维离散型随机变量二、联合分布律定义2设二维离散型随机变量（X，Y）所有可能的取值为(x,y), (i,j=1, 2,.),且对应的概率为P(X =x, Y=y)= Pri,j=1,2,..则称上式为二维随机变量（X.Y)的分布律或X与Y的联合分布律联合分布律性质：(1)非负性：p,≥0，j=1,2,.，20 +00ZZp,=1（2）规范性：i=l js定义3称二维离散型随机变量（X，Y）中X（或Y）的分布律为关于X（或Y）注1.边缘分布律的求的边缘分布律(或边缘分布列，或边缘概率分布)。法：联合分布律表边缘分布律可由联合分布律求得．关于X的边缘分布律为中的元素分别按行相加和按列相加而P(X=x)=P(X=x, Y<+0)-2P(X=x,Y=y)=得到.p,=p. (i=1,2, ..)“边缘分布律”2.j=lj=l名称的由来：边缘类似地，关于Y的边缘分布律为分布律写在了联合+00分布律表格的边缘P(Y=y)=P(X<+, Y=y)=P(X =x,Y=y)=Zp,=p., (j=1,2, ...)上al1el边缘分布律本3.二维离散型随机变量（X，Y)的联合分布律与边缘分布律也可列成表格的形式如质：自身的分布律，加上“边缘”二字下：只是为了强调它是从联合分布律中得YP,.yiy2yi到的.XPi.x,PuPi2PujPajX2P2P2.P211::::x.PiatPsPiPi21::.：.+P.,P.j1p.1P2++.例1设袋中有2只黑球和3只白球，共摸球两次，每次一球。令-48-
- 48 - 一、二维离散型随机变量 定义 1 如果二维随机变量 ( , ) X Y 可能取的值为有限对或无限可列多对实数，则 称 ( , ) X Y 为二维离散型随机变量． 二、联合分布律 定义 2 设二维离散型随机变量 ( ) X Y, 所有可能的取值为 ( ) i j x y, , ( 1 2 ) i j , = ， , 且对应的概率为 { } 1 2, . P X x Y y p i j = = = = i j ij , ， , , 则称上式为二维随机变量 ( , ) X Y 的分布律或 X 与 Y 的联合分布律． 联合分布律性质： （1）非负性： 0 1, 2, ij p i j = ， ， （2）规范性： 1 1 1 ij i j p + + = = = 定义 3 称二维离散型随机变量 ( ) X Y, 中 X （或 Y ）的分布律为关于 X （或 Y ） 的边缘分布律(或边缘分布列，或边缘概率分布)． 边缘分布律可由联合分布律求得．关于 X 的边缘分布律为 1 1 { , } ( 1 2 ) i i i j ij i j j P X x P X x Y P X x Y y p p i • + + = = = = = + = = = = = = , ， 类似地，关于 Y 的边缘分布律为 1 1 { , } ( 1 2 ) i i i j ij j i i P Y y P X Y y P X x Y y p p j • + + = = = = + = = = = = = = , ， 二维离散型随机变量 ( ) X Y, 的联合分布律与边缘分布律也可列成表格的形式如 下： Y X 1 y 2 y . j y . i p 1 x 11 p 12 p . j p1 . 1 p 2 x p21 22 p . j p2 . 2 p . . i x i 1 p i2 p . ij p . i p . . j p 1 p 2 p . j p . 1 例 1 设袋中有 2 只黑球和 3 只白球，共摸球两次，每次一球．令 注 1．边缘分布律的求 法：联合分布律表 中的元素分别按行 相加和按列相加而 得到． 2．“边缘分布律” 名称的由来：边缘 分布律写在了联合 分布律表格的边缘 上. 3．边缘分布律本 质：自身的分布律， 加上“边缘”二字 只是为了强调它是 从联合分布律中得 到的．
概率论与数理统计教案第3章多维随机变量及其分布[o,第一次摸到黑球o,第二次摸到黑球X :Y[1,第一次摸到白球”1,第二次摸到白球现有两种摸球方式：（1）无放回；（2）有放回．试分别在两种摸球方式下求出二维随注机变量（X,Y）的联合分布律及边缘分布律，由边缘分布律一般不3例2由例1中(X,Y)的联合分布律，求（1）1；（2）（X,Y)的联合分布能确定联合分布律，联合分布律中包含了函数.两个分量之间的相依关系。一般地，如果二维随机变量（XY）的联合分布律为P(X=x, Y=y,)= P(i,j=1,2,..)则（X,Y)的联合分布函数为F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)-ZZ pux,Sx y,s)上式是对满足x,≤x,y,≤y的i,j求和对于二维离散型随机变量（X，Y），由联合分布律也可求其边缘分布函数Fx(x)= F(x, +00)=ZEp, =Zp.XSxj,SxFy(y)= F(+0,J)=ZZ p, =Z p.jiy,syy,sy申帆固殊间1.将两封信随意地投入3个空邮筒，设X、Y分别表示第1、第2个邮筒中信的数量，求（1）X与Y(31)(31处的值F的联合分布列（2）第3个邮筒里至少投入一封信的概率（3）联合分布函数在点22(2'2)解 (1)Y012X1-92-91092-92-90112009(2）P(第三个邮筒里至少有一封信)=P(第一、二个邮筒里最多只有一封信)=1.2.25PX+Y≤1)=P(X=0,Y=0}+P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0 =9999[xsg,ys)](31)= P(X =0,Y=0)+P[X=1,Y=0)3)F221,.2_199~3-49-
概率论与数理统计教案 第 3 章 多维随机变量及其分布 - 49 - 0, 1, = X 第一次摸到黑球 第一次摸到白球 ， 0, 1, = Y 第二次摸到黑球 第二次摸到白球 现有两种摸球方式：（1）无放回；（2）有放回．试分别在两种摸球方式下求出二维随 机变量 ( , ) X Y 的联合分布律及边缘分布律． 例 2 由例 1 中 ( , ) X Y 的联合分布律，求（1） 3 1 , 2 2 F ;（2） ( , ) X Y 的联合分布 函数. 一般地，如果二维随机变量 ( , ) X Y 的联合分布律为 { } ( 1 2, ) = = = = , ， , , P X x Y y p i j i j ij 则 ( , ) X Y 的联合分布函数为 ( , ) , = = i j ij x x y y F x y P X x Y y p 上式是对满足 , i j x x y y 的 i j , 求和． 对于二维离散型随机变量 ( , ) X Y ，由联合分布律也可求其边缘分布函数 ( ) ( , ) i i X ij i x x j x x F x F x p p = + = = ( ) ( , ) j j Y ij j i y y y y F y F y p p = + = = 注 由边缘分布律一般不 能确定联合分布律， 联合分布律中包含了 两个分量之间的相依 关系． *巩固练习 1.将两封信随意地投入 3 个空邮筒，设 X 、Y 分别表示第 1、第 2 个邮筒中信的数量，求（1） X 与 Y 的联合分布列（2）第 3 个邮筒里至少投入一封信的概率（3）联合分布函数在点 3 1 , 2 2 处的值 3 1 , 2 2 F ． 解 （1） Y X 0 1 2 0 9 1 9 2 9 1 1 9 2 9 2 0 2 9 1 0 0 （2） P P { } { } 第三个邮筒里至少有一封信 ＝ 第一 、二个邮筒里最多只有一封信 = 1 2 2 5 { 1} { 0, 0} { 0, 1} { 1, 0} 9 9 9 9 P X Y P X Y P X Y P X Y + = = = + = = + = = = + + = (3) 3 1 3 1 , , 0, 0 1, 0 2 2 2 2 F P X Y P X Y P X Y = = = = + = = 1 2 1 . 9 9 3 = + =
*小结离散型随一维离散型X二维离散型(X,Y)机变量X所有的可能取值为有限个或无限可列（X,Y)可能取的值为有限对或无限个定义可列多对实数对分布列: P(X=x}= pk,k=1,2,....分布列：P(X=x,Y=y,)=P非负性：P≥0,k=1,2,.;非负性：p,≥0，j=1,2,分布列Zpk=1.规范性：ZZp,=1规范性：ki=l j=l两点分布X~(0-1) 0<p<1 P(X=0)=q,P(X=1)= p二项分布 X~B(n,p)0<p<1,q=1-p常见分布PX =k)=Ckp*g"-k, k=0,1,2,.-,n*,(k=0,1,2,))>0 P(X=k)~泊松分布X～P()k!联合分布律P(X=x, Y=y,}=Pu,i,j=1,2....Fx(x)= F(x, +00)=ZZpu =Zp.边缘分布函数$rxSFy(y)= F(+0,J)=ZZ p, =Z p.jiy,syy/s)边缘分布律tooP(X=x)=P(X=X,Y<+0)=2P(X=Xx,Y=y)-=2Zp, = p. (i =1,2, ...)1/=li=l+00P(Y = y)= P[X <+00, Y =y)=ZP(X = x,Y =y,)=ZP,= p., (j=1,2, ..)i=li=l专作业习题3.2-P63—1，2，3$3.3二维连续型随机变量S3.3二维连续型随机变量第13讲授课题目理解二维连续型随机变量联合概率密度的概念；会求二维连续型随机变量的分教学目的布，理解二维均匀分布，了解二维正态分布教学重点求二维连续型随机变量的分布，教学难点求二维连续型随机变量的联合分布函数备注教学过程*复习入一维连续型随机变量-50-
- 50 - *小结 离散型随 机变量 一维离散型 X 二维离散型 ( , ) X Y 定义 X 所有的可能取值为有限个或无限可列 个 ( , ) X Y 可能取的值为有限对或无限 可列多对实数对 分布列 分布列： { } , P X x p = = k k k =1,2, . 非负性： 0, 1,2, k p k = ； 规范性： = 1 k pk . 分布列： { } P X x Y y p = = = i j ij , , 非负性： 0 1, 2, ij p i j = ， 规范性： 1 1 1 ij i j p + + = = = 常见分布 两点分布 X ~ (0 1) − 0 1 p P X q P X p ( 0) , ( 1) = = = = 二项分布 X B n p ~ ( , ) 0 1, 1 = − p q p { } , 0,1,2, , k k n k P X k C p q k n n − = = = 泊松分布 X P ~ ( ) 0 { } ,( 0,1,2, ) ! k P X k e k k − = = 联合分布律 { } 1 2, . P X x Y y p i j = = = = i j ij , ， , , 边缘分布函数 ( ) ( , ) i i X ij i x x j x x F x F x p p = + = = ( ) ( , ) j j Y ij j i y y y y F y F y p p = + = = 边缘分布律 1 1 { , } ( 1 2 ) i i i j ij i j j P X x P X x Y P X x Y y p p i • + + = = = = = + = = = = = = , ， 1 1 { , } ( 1 2 ) i i i j ij j i i P Y y P X Y y P X x Y y p p j • + + = = = = + = = = = = = = , ， *作业 习题 3.2- P63—1，2，3 §3.3 二维连续型随机变量 授课题目 §3.3 二维连续型随机变量 第 13 讲 教学目的 理解二维连续型随机变量联合概率密度的概念；会求二维连续型随机变量的分 布.理解二维均匀分布，了解二维正态分布. 教学重点 求二维连续型随机变量的分布. 教学难点 求二维连续型随机变量的联合分布函数. 教 学 过 程 备注 *复习引入 一维连续型随机变量