通积分在求解中的重要作用 在恰当方程的判定之前，首先说明通积分在求解中的重要作用 命题3 若Φ(x,y)=c(c为任意常数)是方程(1)在2内的通积分， 则④(x,y)=c的解当且仅当它是(1)在Ω中的解， 口年9·+二￥+生42刀风0 张祥：上海交通大学数学系第三讲、初等积分法：给当方程
œ»©3¶)•áä^ 3Têß½Éc߃k`²œ»©3¶)•áä^ ·K 3 e Φ(x, y) = c (c è?ø~Í) ¥êß (1) 3 Ω Sœ»©, K Φ(x, y) = c )Ö=ߥ (1) 3 Ω •). ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1n˘!– »©{µTêß
证：必要性.（分析证明的关键：解的定义） 对于c∈R,设 y=u(x),x∈I 是函数方程 Φ(x,y)=c 的解.则有 ④(x,u(x)=c,x∈I. 对上式微分得 0=dΦ(x,u)= x,ud=(Φk,u)+Φ，(c,ucd(d dx =Φx(x,u(x)d+Φ(x,u(x)du(x), 即y=(x),x∈L,是方程 P(x,y)dx+e(x,y)dy =0, 即(1)的解. 张样：上海交通大学数学系 第三讲、初等积分法恰当方程
y: 7á5. (©¤y²'Öµ)½¬) Èu c ∈ R, y = u(x), x ∈ I ¥ºÍêß Φ(x, y) = c ). Kk Φ(x,u(x)) ≡ c, x ∈ I. È˛™á© 0 ≡ dΦ(x,u(x)) = dΦ(x,u(x)) dx dx = (Φx(x,u(x)) +Φy(x,u(x)u 0 (x))dx = Φx(x,u(x))dx+Φy(x,u(x))du(x), = y = u(x), x ∈ I, ¥êß P(x, y)dx+Q(x, y)dy = 0, = (1) ). ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1n˘!– »©{µTêß