解(4)由题可知：D={(x,y)≤x≤e,0≤y≤Ix},积分区域（图8-11）如下：积分区 域也是Y-型区域，D也可i记为D={x,y)0≤y≤L,e'≤x≤e, 因此改变积分次序得： ∫dx(,yy-=dfx,ydr 7.设平面薄片所占的闭区域D由直线x+y=2,y=x和x轴所围成，它的面密度 p(x,y)=x2+y2，求该薄片的质量. 解：M=小cx2+yad-x+y=2-y-y]+2-2油 =8-12y+6y2-2y]+(2y-2y=3 8.求由平面x=0,y=0,x+y=1所围成的柱体被平面z=0及抛物面x2+y2=6-z截 得的立体的体积。 解：所围图形（图8-12）及在xoy面投影（图8-13）如下： y x+y=1 X 图8-12 图8-13 积分区域D={(x,y)0≤x≤1,0≤y≤1-x} r-小6---6--yrh-名， 9.求由曲面2=x2+2y2及z=6-2x2-y2围成的立体的体积。 解： z=x2+2y2 e=6-2x-y→+广=2D+ys2 r=J∬[【6-2x2-y)-(x2+2y]drdy 6
6 解（4）由题可知： D x y x e y Inx ( , ) 1 ,0 ，积分区域（图 8-11）如下：积分区 域也是 Y-型区域， D 也可记为 ( , ) 0 1, y D x y y e x e ，因此改变积分次序得： 1 0 d ( , )d e Inx x f x y y = 1 0 d ( , )d y e e y f x y x 7.设平面薄片所占的闭区域 D 由直线 x y y x 2, 和 x 轴所围成，它的面密度 2 2 ( , ) x y x y ，求该薄片的质量． 解： 1 2 1 2 2 2 2 3 3 2 0 0 1 ( )d d d ( )d { [(2 ) ] (2 2 )}d 3 y y D M x y x y y x y x y y y y y 1 2 3 2 3 0 1 4 { [8 12 6 2 ] (2 2 )}d 3 3 y y y y y y 8.求由平面 x y x y 0, 0, 1 所围成的柱体被平面 z 0 及抛物面 2 2 x y z 6 截 得的立体的体积． 解：所围图形（图 8-12）及在 xoy 面投影（图 8-13）如下： 图 8-12 图 8-13 积分区域 D x y x y x ( , ) 0 1,0 1 1 1 2 2 2 2 0 0 17 (6 ) (6 ) 6 x D V x y dxdy dx x y dy 。 9.求由曲面 2 2 z x y 2 及 2 2 z x y 6 2 围成的立体的体积． 解： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 : 2. 6 2 z x y x y D x y z x y 2 2 2 2 [(6 2 ) ( 2 )]d d D V x y x y x y
=3(2-x-y")dxdy =3f(2-r2)rdrd0 =d90-r-6a-2-4y-6m 10.画出积分区域，把积分 厂f(x,y)drdy表示为极坐标形式的二次积分，其中积分区域D 是：(1)x2+y2≤2R: (2)a2≤x2+y2≤b2,其中0<a<b。 do(sind ()ddydorcos,rsinOdr. 11.化下列二次积分为极坐标形式的二次积分： d时fWF+r:@fk: 解D6drfF2+ydy=d0”frd. 解2)依题意，积分区域D={x0≤x≤11-x≤y≤V-} 积分区域（图8-14）》 如下： x+)y=1 图8-14 由0≤x≤1得0≤0s花：由1-x≤y≤V-x得1 ≤r≤1，因此积分 sinθ+cos0 1 区域在极坐标系下的不等式为D=亿，00≤0≤号m2十cs9≤r≤1，则 o(indr 12.把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值：
7 2 2 2 2 2 2 2 2 4 0 0 0 3 (2 )d d 3 (2 ) d d 1 3 d (2 ) d 6 ( ) 6 . 4 D D x y x y r r r r r r r r 10．画出积分区域，把积分 ( , )d d D f x y x y 表示为极坐标形式的二次积分，其中积分区域 D 是：（1） 2 2 x y Rx 2 ； （2） 2 2 2 2 a x y b ，其中 0 a b。 解（1） / 2 2 cos / 2 0 ( , )d d ( cos , sin ) d R D f x y x y d f r r r r 。 解（2） 2 0 ( , )d d d ( cos , sin ) d b a D f x y x y f r r r r 。 11．化下列二次积分为极坐标形式的二次积分： (1) 2 3 2 2 0 d ( )d x x x f x y y ; (2) 2 1 1 0 1 ( , ) x x dx f x y dy ; 解（1） 2 3 /3 2sec 2 0 0 2 / 4 d ( )d d ( ) d x x x f x y y f r r r 。 解 (2 ) 依题意，积分区域 2 D x y x x y x ( , ) 0 1,1 1 ，积分区域（图 8-14） 如下： 图 8-14 由 0 1 x 得 0 2 ；由 2 1 1 x y x 得 1 1 sin cos r ，因此积分 区域在极坐标系下的不等式为 1 ( , ) 0 , 1 2 sin cos D r r ，则 2 1 1 0 1 d ( , )d x x x f x y y = 1 1 2 0 (sin cos ) d ( cos , sin ) d f r r r r 12．把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值：
e+y: +d。 解()依题D={(x,)0≤x≤2a,0≤y≤V2a-x同， 图8-15则由y≤√2ar-x2得r≤2 acosp,故在极坐标系 p=21c0s9 下 D D-{cols0≤号0srs2aep 图8-15 原式0r2t=a 解aj6F+rd=∫d0g”rr -sac0u0-g“i+amr0da0 而1=+i=1+-6d+r --r- =-小Ff-i7=-4+t =√2-1+ln1+√2) I1=)v2+In1+W2) 所以」 dVF+y-2+In1+ 13.利用极坐标计算下列各题： ()∬e矿dG,其中D是由圆周x2+y2=4围成的闭区域： 解D∬erdg-d0ed=xe-. 8
8 (1) 2 2 2 2 2 0 0 ( ) a ax x dx x y dy ; (2) 2 2 0 0 d d a x x x y y 。 解 (1) 依题 2 D x y x a y ax x ( , ) 0 2 ,0 2 ， 图 8-15 则由 2 y ax x 2 得 r a 2 cos ，故在极坐标系 下 ( , ) 0 ,0 2 cos 2 D r r a ， 原式= 2 cos 2 2 3 0 0 3 4 a d r rdr a 。 解（2） / 4 sec 2 2 2 0 0 0 0 d d d d a x a x x y y r r 3 3 / 4 / 4 3 2 0 0 sec d 1 tan dtan 3 3 a a 而 1 1 1 2 2 2 0 0 0 I t t t t t t 1 d 1 d 1 2 2 1 1 0 0 2 2 1 1 2 d 2 d 1 1 t t t t t t 1 1 1 2 2 0 0 0 2 1 2 1 d d 2 ln( 1 ) 1 t t t I t t t 2 ln(1 2) I 1 [ 2 ln(1 2)] 2 I 所以 3 2 2 0 0 d d [ 2 ln(1 2)] 6 a x a x x y y 13．利用极坐标计算下列各题： (1) 2 2 x y D e d ，其中 D 是由圆周 2 2 x y 4 围成的闭区域； 解（1） 2 2 2 2 2 4 0 0 d d d ( 1) x y r D e e r r e 。 图 8-15
2∬sin+ydo,其中D:元2≤x2+y2≤4π： )sinda="dof"rsinrdr ()∬arctand,其中D是由圆周+y广=4，r+y产=1及直线y=0,y=x所围成的 在第一象限内的闭区域： (4)厂(x2+y1o,其中D是位于两圆x2+y2=2x及2+y2=4x之间的闭区域. 解wc+yHG-%d0rdr=60r%cosa0- 45 (5)『xdd少，其中D为第一象限的扇形AOB,其中A的坐标为(4，O),B的坐标为 (2√2,22) 解(5)扇形AOB在极坐标下可用不等式 0≤r≤4,0≤0 Γ4 表示（图8-16），应用极坐标公式得 1=∬shd=a0jrcos6-rsin9-rt 图8-16 =j”cos8-sin8u0rt 14.选用适当的坐标计算下列各题： (1) 川do,其中D是由直线x=2,y=x及曲线 xy=1所围成的闭区域： 解(1)积分区域D如图8-17：积分区域 x=2 图8-17
9 (2) 2 2 sin D x y d ，其中 D ： 2 2 2 2 x y 4 ； 解 (2) 2 2 2 2 2 0 sin sin 6 D x y d d r rdr (3) arctan d D y x ，其中 D 是由圆周 2 2 2 2 x y x y 4, 1 及直线 y y x 0, 所围成的 在第一象限内的闭区域； 解（3） / 4 2 0 0 sin arctan d d arctan d cos D y r r r x r 2 / 4 2 / 4 2 2 2 2 2 0 1 0 1 1 1 1 1 3 d d (4 1) 2 2 2 4 2 64 r r r （4） 2 2 ( )d D x y ，其中 D 是位于两圆 2 2 x y x 2 及 2 2 x y x 4 之间的闭区域． 解（4） / 2 4cos / 2 3 4 / 2 2cos 2 2 / 2 ( )d 45 d d 60 cos d 2 D x y r r 。 （5） d d , D xy x y 其中 D 为第一象限的扇形 AOB ,其中 A 的坐标为 (4,0), B 的坐标为 (2 2,2 2). 解（5） 扇形 AOB 在极坐标下可用不等式 0 4,0 4 r 表示(图 8-16), 应用极坐标公式得 / 4 4 0 0 / 4 4 3 0 0 / 4 4 2 4 0 0 cos sin cos sin 1 1 sin 16. 2 4 D I xydxdy d r r rdr d r dr r 14．选用适当的坐标计算下列各题： （1） 2 2 D x d y ，其中 D 是由直线 x y x 2, 及曲线 xy 1 所围成的闭区域； 解（1）积分区域 D 如图 8-17：积分区域 B o A x y 图 8-16 图 8-17
D-a小ss2小因此 2)广G,其中D是由圆周+少=1及坐标轴所围成的在第一象限内的 闭区域： so小o-a- 百【a臣tos-ae -授m+F0=g行--g-2y 3》广V+7dG,其中D是圆环形闭区域：4≤+y广5公. 解3)F+产do-d0jrd-2号6-a (4)x+y)do,其中D={x,lr+y≤x+y 解(0∬+yrdo=d0rrt (cosim00 42287 15.设平面薄片所占的闭区域D由螺线r=20上一段江《0≤日≤子)与直线日=号所用 成，它的面密度为p(x,y)=x2+y2,求这个薄片的质量. gw-小e+yro-a"r-4oa0--r 16计算以xOy面上的圆周x2+y2=ax围成的闭区域为底，而以曲面z=x2+y2为顶的 曲顶柱体的体积。 10
10 1 D x y x y x ( , ) 1 2, x ，因此 2 2 2 1 2 2 1 9 4 x D x x x d dx dy y y 。 （2） 2 2 2 2 1 d 1 D x y x y ，其中 D 是由圆周 2 2 x y 1 及坐标轴所围成的在第一象限内的 闭区域； 解（2） 2 2 2 / 2 1 2 2 2 0 0 1 1 d d d ( 2) 1 1 8 D x y r r r x y r 而 2 2 / 2 1 / 2 1 / 2 1 2 2 2 0 0 0 0 0 0 2 1 1 1 1 1 d d d d d d 1 2 1 2 1 r r r r r r r r r r 1 1 2 0 0 1 (arcsin 1 ) ( 1) ( 2) 2 2 4 2 8 r r （3） 2 2 d D x y ，其中 D 是圆环形闭区域： 2 2 2 2 a x y b ． 解（3） 2 2 2 2 3 3 0 2 d d ( ) 3 d b a D x y r r b a （4） 2 2 ( ) , D x y d 其中 2 2 D x y x y x y ( , ) 。 解（4） 7 / 4 cos sin 2 2 3 / 4 0 ( ) d d D x y d r r 7 / 4 3 / 4 4 2 4 / 4 / 4 1 1 (cos sin ) d 2 cos ( / 4)d 4 4 2 / 4 / 2 / 2 2 4 4 / 2 0 1 2 2 3 1 3 2 cos d cos d 2 4 4 4 2 2 8 t t t t t 15．设平面薄片所占的闭区域 D 由螺线 r 2 上一段弧（ 0 2 ）与直线 2 所围 成，它的面密度为 2 2 ( , ) x y x y ，求这个薄片的质量． 解 5 / 2 2 / 2 2 2 3 4 5 5 0 0 0 4 1 ( ) d d 4 d 5 2 40 D M x y d r r 。 16 计算以 xOy 面上的圆周 2 2 x y ax 围成的闭区域为底，而以曲面 2 2 z x y 为顶的 曲顶柱体的体积．