4题型二—判断题 例二设A,B为n阶矩阵,E为n阶单位矩阵,下列 那些命题是正确的? (A+B)2=A2+2AB+B2 (巩E+A)=A+342+32A+2E 若,则与-B)也可换 (AB)2=A2B2当且仅当AB=BA
题型二——判断题 例二 设A,B为n阶矩阵，E为n阶单位矩阵，下列 那些命题是正确的？ 若 可换，则 与 也可换。 2 2 2 3 3 2 2 3 ( ) 2 ( ) 3 3 A B A AB B E A A A A E + = + + + = + + + A B, ( ) A B− ( ) A B + 2 2 2 ( ) AB A B = 当且仅当AB=BA
(1)不正确 (4+B)2=(A+B)(A+B) =(A+B)A+(+B)B A2+Batabtb2 ≠A2+2AB+B2 说明由于矩阵乘法不满足交换律,所以: (A+B)=A2+B2+2AB A2-B2=(A+B)(A-B) 不成立
➢ （1）不正确 2 ( ) ( )( ) A B A B A B + + + ＝ ＝( ) ( ) A B A A B B + + + 2 2 2 2 2 A BA AB B A AB B = + + + + + 说明 由于矩阵乘法不满足交换律，所以： 2 2 ( ) 2 A B A B AB + = + + 2 2 A B A B A B − = + − ( )( ) 不成立
>(2)正确,因为矩阵!与厕交换 定义:若对于矩阵A,B又AB=BA,就称A 与B可交换。 若AB=BA,就有以下公式: A2-B2=(A+B)(A-B) (A±B)2=A2±2AB+B2 (A+B)"=∑CAB"k
➢ （2）正确，因为矩阵 A 与 可交换 E 2 2 2 2 2 0 ( )( ) ( ) 2 ( ) n n k k n k n k A B A B A B A B A AB B A B C A B − = − = + − = + + = 定义：若对于矩阵A,B又AB=BA，就称A 与B可交换。 若AB=BA，就有以下公式：
>(3)正确,因为 (A+B(A-B)=A4-AB+ BA-B =A2-4B+Ab-B2 A2-B (A-B)(A+B)=A+AB-BA-B2 A-B
➢ （3）正确，因为 2 2 ( )( ) A B A B A AB BA B + − = − + − 2 2 = − + − A AB AB B 2 2 = − A B 2 2 ( )( ) A B A B A AB BA B − + = + − − 2 2 = − A B
(4)不正确。 其中当AB=BA时,有B)2=A是正确的,但 仅当AB=BA时,才有AB)2=是不正确的 例如: A B 00 22 AB= Ba 00 AB≠BA但(AB)2=AB
➢ （4）不正确。 其中当AB=BA时，有 是正确的，但 仅当AB=BA时，才有 是不正确的。 例如： 2 2 2 ( ) AB A B = 1 1 1 1 A = − − 1 1 1 1 B − = − 0 0 0 0 AB = 2 2 1 1 BA = − − 2 2 2 ( ) AB A B = AB BA 2 2 2 但 ( ) AB A B =