《离散数学》课程PPT教学课件（讲稿）第5章 代数系统的一般性质（5.2）代数系统及其子代数、积代数

子代数 定义设<S,f,,…,f>是代数系统,B是S 的非空子集,如果B对f1,f2,…,都是封闭的 且B和S含有相同的代数常数,则称<B,f, f,…,f>是v的子代数系统,简称子代数.有时 将子代数系统简记为B 实例N是<Z,+>和<Z,+,0>的子代数.N-{0}是<Z,+> 的子代数,但不是<Z,十,0>的子代数 说明: 子代数和原代数是同种的代数系统 对于任何代数系统V,其子代数一定存在

6 子代数 定义 设V=<S, f1 , f2 , … , fk> 是代数系统，B 是 S 的非空子集 ，如果 B 对 f1 , f2 , … , fk 都是封闭的， 且 B 和 S 含有相同的代数常数，则称 <B, f1 , f2 , … , fk> 是 V 的子代数系统，简称 子代数. 有时 将子代数系统简记为 B. 实例 N是<Z,+> 和<Z,+,0>的子代数. N−{0}是<Z,+> 的子代数，但不是<Z,＋,0>的子代数 说明： 子代数和原代数是同种的代数系统 对于任何代数系统 V ，其子代数一定存在

关于子代数的术语 最大的子代数就是V本身.如果中所有代数常数 构成集合B,且B对V中所有运算封闭,则B就 构成了T的最小的子代数.最大和最小子代数称为V 的平凡的子代数.若B是S的真子集,则B构成 的子代数称为V的真子代数 例2设<Z+,0>,令nz={nz|∈2,n为自然 数,则nz是V的子代数,当n=1和0时,nz是 V的平凡的子代数,其他的都是V的非平凡的真子 代数

7 关于子代数的术语 最大的子代数 就是V 本身. 如果V 中所有代数常数 构成集合 B，且 B 对V 中所有运算封闭，则 B 就 构成了V 的最小的子代数. 最大和最小子代数称为V 的平凡的子代数. 若 B 是 S 的真子集，则 B 构成 的子代数称为V 的真子代数 . 例2 设V=<Z,+,0>，令 nZ = { nz | z∈Z}，n 为自然 数，则 nZ 是 V 的子代数, 当 n = 1 和 0 时，nZ 是 V 的平凡的子代数，其他的都是 V 的非平凡的真子 代数

积代数 无法显示该图片 定义设=<S1o>和V2=<S2*>是代数系统,其中 和*是二元运算V与V的积代数是=<SXS2>, Vx11>,<x2y2>∈S1xS2, 11·<22>=<102,y1*y2 例3=<Z+>V2=<MR,·>,积代数<Z×M2(R,o> VK1, M1,<2,M2>EZXM2(R <1,M1>0<2,M2>=<1+z2,M1M <5 ><3. 20

8 积代数 定义 设 V1=<S1 ,o>和 V2=<S2 ,>是代数系统，其中 o 和  是二元运算. V1 与 V2 的 积代数 是V=<S1S2 ,∙>, <x1 ,y1>, <x2 ,y2>S1S2 , <x1 ,y1> ∙ <x2 ,y2>=<x1ox2 , y1y2> 例3 V1=<Z,+>, V2=<M2 (R), ∙ >, 积代数< ZM2 (R),o> <z1 ,M1>, <z2 ,M2>ZM2 (R) , <z1 ,M1> o <z2 ,M2> = <z1+z2 , M1 ∙M2>         − =         −   −          2 0 2 1 3, 0 1 2 1 2, 1 1 1 0 5, 