功限信号传输的最佳检测和错误概率 符号错误概率（每个符号携带k比特） P=∫(I-P)P(r)d 由于M个信号等概 上式就是平均符号错误概率 转化为 ●可以将符号SNRE/N。 比特SNRE/N,的形式 M=2 每个符号传送k比特 =k 转化为 ●将符号P。 比特错误概率P。 星座对称，发送s,时接收任何消息的概率都是相等的：ps,reevedd)-M二 P -1 一个符号(K个比特)中有比特差错的情况：一共有 种。 P 每k个比特符号的平均比特差错数： 2k-1
6 1 1 (1 ) ( ) − = − M c P P P r dr 符号错误概率（每个符号携带k比特) 2 1 2 / 2 0 1 1 1 2 1 exp 2 2 2 − − − − = − − − M y x s P e dx y dy e N 由于M个信号等概 上式就是平均符号错误概率 ⚫可以将符号SNR 比特SNR 的形式 转化为 0 / N 0 b / N 2 M k = ⚫将符号 Pe 比特错误概率Pb 转化为 ( | 1 ) 1 2 1 e e m k P P p s received s send M = = 星座对称，发送 − − s1时接收任何消息的概率都是相等的： 每k个比特符号的平均比特差错数： 1 1 2 2 1 2 1 k k e k k e n k P n k P n − = = − − 一个符号 (K个比特) 中有n比特差错的情况：一共有 种。 n k b 每个符号传送k比特 = k 功限信号传输的最佳检测和错误概率
功限信号传输的最佳检测和错误概率 除于k,得到平均比特错误概率： 10 k-1 2 2-1 102 5 注意： 2 103 为了达到给定的比特错误概率，增加波形 个数M可以减少对比特SNR的要求。 蓄 M=64 M=2 104 例：P,=105时 M=32 5 M=2一SNR大约为12dB 2 -M=4 105 M=64一SNR大约为6dB M=16 5 2 M=8 发送功率节省了6dB!(减少了4倍) 106 4 0 4 8 12 1620 问题： 比特SNR Y/dB 当Moo时（即ko0),为了达到任意小 的错误概率，所要求的最小SNR是多少？ 7
7 除于k，得到平均比特错误概率： 1 2 1 2 1 2 k b e e k P P P − = − 注意： 为了达到给定的比特错误概率，增加波形 个数M可以减少对比特SNR的要求。 例：Pb=10-5 时 M=2 —— SNR大约为12dB M=64 —— SNR大约为6dB 发送功率节省了6dB !（减少了4倍） 问题： 当M→时（即k→)，为了达到任意小 的错误概率，所要求的最小SNR是多少？ 功限信号传输的最佳检测和错误概率
功限信号传输的最佳检测和错误概率 结论： Shannon极限 若： >1n2=0.693(-1.6dB) No 当：k→0（即M=2→∞）时，P→0 在k→o（即M=2k→o)的极限情况下，达到任意小的 错误概率所要求的最小SNR为-1.6dB. 8
8 ( 2 ) 0 k e k M P → = → → 即 时， Shannon极限 在 k→（即M=2 k →）的极限情况下，达到任意小的 错误概率所要求的最小SNR为-1.6dB. 结论： ln 2 0.693 ( 1.6 ) 0 dB N b = − 若： 当： 功限信号传输的最佳检测和错误概率
功限信号传输的最佳检测和错误概率 正交信号传输的特例：FSK 正交FSK信号 频率间隔： (FSK变为正交信号的要求) 2T 1为正整数 错误概率：同前面推导结果 注意： 保持正交性的频率间隔并不能使错误概率最小！ 可以证明：二进制FSK错误概率最小时的△f=0.715/T 9
9 正交信号传输的特例：FSK 频率间隔： l 为正整数 注意： 正交FSK信号 2 l f T = 错误概率：同前面推导结果 保持正交性的频率间隔并不能使错误概率最小！ 可以证明：二进制FSK错误概率最小时的 = f T 0.715/ （FSK变为正交信号的要求） 功限信号传输的最佳检测和错误概率