例子 Z是正整数集合,D是整除关系,<Z,D>是偏序集, 证明:∨a,b∈Z, a∧b=最大公约数,a∨b=最小公倍数 证明:若c是{a,b}的下界,则c≤a,c≤b,即c能整除a, 能整除b,所以c是a,b的公约数。 若c是{a,b}的最大下界,则c是a,b的最大公约数。反 之,同样可证 因此,<Z,D>是格,因为∨a,b∈Z都有最大公约数和 最小公倍数 东南大学计算机科学与工程学院 离散数学 与布尔代数
Z+是正整数集合，D是整除关系，<Z+，D>是偏序集， 证明：a，b∈ Z+， a∧b=最大公约数，a∨b=最小公倍数 证明：若c是{a，b}的下界，则c ≼ a，c ≼ b，即c能整除a， 能整除b，所以c是a，b的公约数。 若c是{a，b}的最大下界，则c是a，b的最大公约数。反 之，同样可证。 因此，<Z+，D>是格，因为a，b∈Z+都有最大公约数和 最小公倍数
课堂练习 习题11,第5题 东南大学计算机科学与工程学院 离散数学 与布尔代数
课堂练习 习题11，第5题 2021/2/11
对偶式,对偶命题 定义2-1:格中元素用运算符∧,Ⅴ连接起来的的一个表达式f, 如将f中的∧换成v,将v换成∧,所形成的表达式称 为f的对偶式记作f fa, b, c {b,c} f:({a3b}^{b,c})v{c} {b} f:({a,b}v{bc}^{} 东南大学计算机科学与工程学院 离散数学 与布尔代数
定义2-1：格中元素用运算符∧,∨连接起来的的一个表达式f ， 如将f中的∧换成∨ ，将∨换成∧ ，所形成的表达式称 为f的对偶式记作f* {a,b,c} {a,b} {a,c} {b,c} {a} {b} {c} f ： ({a,b}∧{b,c})∨{c} f* ： ({a,b}∨{b,c})∧{c}
对偶式,对偶命题 定义22:设是含有格中元素以及符号≤,≥,V和∧的命题 令是将中的≤替换成≥,≥替换成≤,ⅴ替换 成∧,∧替换成v所得到的命题,称为f的对偶命 题。 fa, b, c True(ab,c)v(≤ab} {a,b} [b, c] Falser {a,bv{b,c})^≥a,b, ea,b}^{b,})≤{a,b a{a,bY{b,c})≥{a,b 东南大学计算机科学与工程学院 离散数学 与布尔代数
定义2-2： 设f是含有格中元素以及符号≼， ≽， ∨和∧的命题 ，令f*是将f中的≼替换成≽ ， ≽替换成≼ ， ∨替换 成∧ ， ∧替换成∨所得到的命题，称f*为f的对偶命 题。 {a,b,c} {a,b} {a,c} {b,c} {a} {b} {c} f ： ({a,b} ∧{b,c}) ∨{c} ≼{a,b,c} f* ： ({a,b} ∨{b,c}) ∧{c} ≽{a,b,c} f ： ({a,b} ∧{b,c}) ≼ {a,b} f* ：({a,b} ∨{b,c}) ≽ {a,b}
对偶原理 格的对偶原理设是含有格中元素以及符号≤,≥,和∧的 命题,若f对一切格为真,则f的对偶命题也 对一切格为真 f:(AAB)≤A (芙蓉∧凤姐)≤芙蓉 (巴西∧阿根廷)≤巴西 ({a,b}^{b,c})≤{a,b} f:(AvB)≥A (芙蓉凤姐)≥芙蓉 (巴西阿根廷)≥巴西 ({a,b}V{bc})≥{a, 东南大学计算机科学与工程学院 离散数学 与布尔代数
格的对偶原理 设f是含有格中元素以及符号≼， ≽， ∨和∧的 命题，若f对一切格为真，则f的对偶命题f*也 对一切格为真。 选美比赛名次 男足国家队实力 {a,b,c} {a,b} {a,c} {b,c} {a} {b} {c} 子集 f ： (A ∧B) ≼ A (芙蓉 ∧凤姐) ≼ 芙蓉 … … (巴西 ∧阿根廷) ≼ 巴西 … … ({a,b} ∧{b,c}) ≼ {a,b} … … f* ：(A∨B) ≽ A (芙蓉 ∨凤姐) ≽ 芙蓉 … … (巴西 ∨阿根廷) ≽巴西 … … ({a,b} ∨{b,c}) ≽ {a,b} … …