=cos 0 cOS iV(r,6,=)=i b(r,,=)x(V;6,=)。2oy x 06 jV(V日,=)= o(r,已,z)y,oV(r,,=) 80 cos- 将x、y以柱坐标r、表示 av(r, 0,z xi +y av(r, 0, 2)/-yi+x cOS 0)1 av(r, 0, z) (cosO +sine)+ av(r, 0,2-sinOi +cos ej 再利用第一讲(1.7)(1.8b)关于径向、角向与直角x、y单位向量的关系, 最后得出 (r,6,z)。,1o(r,0,z)a,O|(rO,x k(2.8) r a0
5 ] 1 cos ( , , ) ( , , ) ( , , ) [ cos ] ( , , ) ( , , ) ( , , ) [ 2 2 2 x V r z r y r V r z V r z j y j x V r z y r x r V r z V r z i x i q q q q q q q q q q ¶ ¶ + ¶ ¶ = ¶ ¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ = ¶ ¶ 将 x、y 以柱坐标 r、θ表示 ) sin cos ( ( , , ) (cos sin ) ( , , ) ( cos )] ( , , ) ( ) ( , , ) 2 2 r V r z i j i j r V r z x V r z yi xj r xi yj r V r z V q q q q q q q q q q q - + ¶ ¶ + + ¶ ¶ = - + ¶ ¶ + + ¶ ¶ Ñ = 再利用第一讲（1.7）、（1.8b）关于径向、角向与直角 x、y 单位向量的关系， 最后得出 （2.8） x y x y x 1 cos ( ) , cos2 2 2 = × ¶ ¶ = × - ¶ ¶ q q q q r y y r r x x r = ¶ ¶ = ¶ ¶ , k z V r z V r z r r r V r z V ¶ ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ Ñ = ( , , ) 1 ( , , ) ( ,q, ) q q q q
五、向量场的散度 1、通量概念的引入:如图2.3所 盆口面积 示假设水流由上而下处处匀速(速 为S 度大小为v)流入下面一个矩形盆, 盆口面积为S,则,在t时间内流 入盆内的水量为 VSt 图2.3、通量演示示意图图 单位时间里流入盆内的水量,这里我们称之为水通量为: 这里的水 若盆口面斜放与水流方向夹角为 在盆外 如图2.4所示,在这种情况下 单位时间盆所接的水比平放(夹角为 时少,因为盆口的进水量只与 盆口的平面投影有关,夹角0越小 进水量越大,夹角为零时,进水量 n 最大;夹角θ越大,进水量越小,当图24、通量演示示意图图 夹角为直角时,即盆口与水流方向垂 直时,那就一滴水也接不着。由于盆口面积S的单位时投影面积为S1=Scos, 单位时间所流出的水的通量为 ￠ vS coS Oi =EScos=y s (2.9)
6 n V 图 2.3、通量演示示意图图 盆口面积 为 S 五、向量场的散度 1、通量概念的引入：如图 2.3 所 示假设水流由上而下处处匀速（速 度大小为 v）流入下面一个矩形盆， 盆口面积为 S，则，在 t 时间内流 入盆内的水量为 VSt 单位时间里流入盆内的水量， 这里我们称之为水通量为： VS t VSt Φ = = 若盆口面斜放与水流方向夹角为q 如图 2.4 所示，在这种情况下， 单位时间盆所接的水比平放 时少，因为盆口的进水量只与 盆口的平面投影有关，夹角q越小， 进水量越大，夹角为零时，进水量 最大；夹角q越大，进水量越小，当 夹角为直角时，即盆口与水流方向垂 直时，那就一滴水也接不着。由于盆口面积 S 的单位时投影面积为:S1=Scosq, 单位时间所流出的水的通量为 VS V S t VS t Φ = = q = × q cos cos （2.9） n V 图 2.4、通量演示示意图图 这里的水 在盆外 夹角为q n