26[第二牵]静电妈及稳定电流的磁摄因此，知道M以后，磁体里的电流分布就能知道，因而它所产生的磁場就可完全决定。现在命P满足下式V·M--PM(13)代入 M=是(B-H),并注意 VB=0,得47V-H-4TPM(14)(14)式与（2)式完相当。Pr可以看做“磁荷密度"，这里我們看出静电場和静磁場的对称性，但必须指出，电荷是客观上存在的物理事实，而磁荷只是由（13）式引大的一个入为的概念。当然静磁摄同样也可由下面两式来描写：V.B=0, V×B=fji.(15)C(14)式和(15）式指出下面一个重要的情况：如果从磁荷的观点出发来描迹静磁現象，那么，“磁場强度H就是一个基本的量，如果从磁感电流出发，那么，“磁感应"B就是一个基本的量，注意P和j并不是同时存在的概念，根据第一个出发点，只有P存在，j样不存在，根据第二个出发点，只有存在，P是不存在的，但在决定磁化强度M时，必须同时考虑jx和PM。将B=H+4M代大（14式和（8）式得(16)V.M--PM将B一H+4M代入（15）式和（8）式，得xM=lix.(17)6因为在（16)式和（17)式中的M是同一物理量，这表明M必须同时满足（16）式和（17）式。多10.格临定理这是在势理輪里个极重要的数学定理，这个定理可以叙如下：假定Φ和平是两个&岁之的比较正规的函数，于是有下面恒等式：
27E510]格临定理 -] d(1)vy-yy-da.上式的证明在很多高等微积分的书里都可查到，我們不再去证明它。現在利用（1）式来求下面泊松方程式的解：(2)vV=-4Tp.假定P为电場里任意的一点，它的坐标为（，，）。命Φ一V，亚二, 式中 =[()*+(g)*+(), , 为(1)式中的积分变数（即dg或dt的坐标）。我們很容易证明：除掉在一，时以外=0(在，时，，而微分不再有意义）。（1)式中的体积积分是对于积分封阴面a内体积的积分。封開面的形状是任意的。我例假定P点也包括在内。上面已指出在P点（即r=0处）的平为，所以必须把P点放在积分区域以外，为着这个目的，可以取P点为中心作一极小的球面，而取（1)式中的体积积分区域只限于和α中间的空間区城，这样在积分区城里的每-点都等于，（1）式左边变为：Jf wvodr --jifvVdr=4r jfdr.(3)以代表向量(一,y一，一)，(1)式的右边变为：[--→do -,[--↓ ]-do'. (4)上式第二项的负号是因为do的法綫是向着体积的内部（即向著小球的外面）。现在让小球的牛經R箱小。当R充分小时，V在整个球面α上可以看做一个常数。命Vo，（vV)分别为VVV在P点的值，我們得田R$.[--]..4RR-7dR1(V)-4mRR,(5)
28解电場及稳定电流的磁摄[第二聋]上式在R趋于筹时趋于一4元Vo，所以由(3)，（4)和（5）式，我們得4V.[--↓](4nP-dtd现現在把积分坐标a,y,换成a,y,a,P点的座标(,,)换成（ay），上式变为([++(,+→,)]-dg++f[e(d22dr,(6)武中 r=(-a,y, 2-2'), (/,a/y,a/az')。当趋于无势远，而（6)式中的面积分也趋于雾时（如果V～1，，这个条件即可满足），我们得((fe(a, y', a)dt,V(a, 3', 2) =(7)4式中的体积分是以整个空聞为积分区域。（7)式正是我例在电磁学里所熟悉的库偷定律。（6)式告我们説，为着要算出α面内任一点P处的V值，只需要知道面内的电荷分布，无需知道面外的电荷分布，不过在面上的V和VV的值必须知道。换句税，α面外电荷分布的知戳，可由在面上V和VV的知識来替代。下面我们指出，在a面上V值这可由面上的V算出。命在α面上某一点P1处的V值为V1，在面上任一其他点P处的V为：PY- [vV.ds+Vi,(8)P式中的积分曲凝是P，和Pi两点在上的任一根曲龙。V可以是任一常数面不影响（6）式的实质。为了看清这一点，我們把（8）
29[s101格脂定理式代入（6）式，V，对积分的贡献为[-] do-[-].do=Vi所以(8)式中V项的效果，等于把(6)式左边的V(a,y2）换成V(,）十V1。我们知道V(,）是可以加上一个任意常数而不影响E一一√V的值的，这説明V的存在并不影响果的实质。上面的糙果证明，面外电荷分布的知識可完全由在面上VV的知截来替代。命(9)aV(x,,z)4m1(10)vV(a', y, ')n4元纪为在（a，，）点的法税，（6）式可改写为V(r, y, 2) = df:p(c,gs22) da +r3thw(a,y,2dTip(a,,adr(11)r2(11)式可看做由α面内电荷分布p(α,,z），面上电荷表面密度和偶极矩密度p在P点所产生的电位。根据前面的籍果，如果在一个封关面a上的V和n·VV的值已知，在里面P的分布也已知，我們就可利用（6）式求出在α面内任一点的V，因此也就求出任一点的E。現在将证明，这样求出的V或E是单一的。在下面的敢算里，我們将证明只要在上的V已知，在α里面的P的分布也已知，那么，在α内任点的V和E就已羟可以单一地决定，而不必知道n·V'V。这明由格临定理求解所需要的在上关于n·v'V的边界条件，只是充分的条件，而不是必需的条件。在证期上迹单一定理之前，我們将先证明一个辅助定理
30[第二章]解电摄及稳定电流的磁好下面是一个与格临定理有密切关系的恒等式：dbyvo.do.[f yvdr + J](12)yed-H我侧将不在这里证明(12)式。事实上，格临定理(1)可由交换（12)式中的乎和然后相减得出。现在命亚Φ，并命满足"=0,(13)于是（12）式变为：(14)vp.dar(v@)"dr:从（14)式看出，如果在上任一点处中都等于零，那么，在内If (vd)dr = 0.(15)蒲足上式唯一的可能是VΦ=0，即-==0,换句说，32Jay(16)=常数=0現在我們应用上面辅助定理来证明前面所的单一定理。假定在面上√等于已知的值，并且满足方程式（2)的函数V(α，92)有很多个，我例撑取其中任意两个：V1和V2,命(17)Φ=V-V2于是在内，中满足@=0，在上，满足@=0。根据上面辅助定理，我們知道中必须在。内每一点都等于零，换句话説，(18)Vi=V2.这证明了前面所球的单一定理，上面的定理指出，如果边界上的V已知，那么边界内的电場就可完决定。前面我们已翘证明，如果只知道边界上的E（即√V）那么边界内的电場也已完全确定。因此，为着决定一个区域内的电場，只需要知道V和VV中的一个。下面将举出几个例子来説明上面籍果的应用