总之,对于不存在多孤子解的系统中的孤波,还是不宜称为孤 子的 图3-1给出KdV方程标准形式l;-6l2+x=0当u(x,0) 6 schr时,两孤子解随时间演化的情况.图中清楚地表示出 两孤子相互作用后又分开,并保持各自波形速度不变的情况 t=-0.5.高低不等、相互分开、向右运动的两个孤子,较高的孤 子在后,但速度较快;(i)t=-0.1时,较高的孤子追赶上较低的 孤子;(i)t=0时两孤子合并成一个孤子;(ⅳ)t=0.1时,较高的 孤子超过了较低的孤子并逐渐分开;(v)t=0.5时,两孤子重新分 开但现在已是较高的孤子在前,而速度较慢也较低的孤子则落后 了·它们仍保持原来的波形和速度,这是理论计算结果.在§6 中我们将会看到水槽实验中同向运动高低不同的水波孤子因速度 不同而逐渐互相分开的情况 KdV方程只能有单向 运动、速度不同互相追赶的 多孤子解.对于允许两孤子 沿相反方向运动的演化方 程,例如布森内斯克方程, 则可以有速度相反的两个 孤子自远而近迎面对撞再 (iii) 互相分开的现象. Ikea等人 在等离子体的离子-声波孤 子实验中就观察到两孤子 迎面对撞后(不湮灭)又互 因3-1 相分开的现象2 另一个导致孤子的著名物理问题是1955年费米(E. Fermi)、 帕斯塔(J. Pasta)和S.Ulam为了验证经典统计物理中能量均分 原理而设计的数值实验161.他们将64个质点用非线性弹簧连成 条非线性振动弦,开始能量只集中在其中一个质点上,按照能量 16
均分原理由于弱非线性相互作用.长时间以后应该导致能量有涨 落的均衡分布,出乎意料的是,计算结果发现,长时间以后几乎全 部能量又回到原先的初始分布.这和能量均分原理完全不一致 这就是著名的FPU回归问题,后来,户田研究声波在非线性晶体 点阵中的传播问题….建立了非线性晶格点阵方程(户田方程) 其中a、b为与晶格势有关的常数,rn=yn-yn-y是第n个晶格 相对其平衡位置的位移.户田假定品格间相互作用势为g(r)= wr(、b>0)(户田方程有孤波解.如将户田方程进行连续 化.还可以化成布森内斯克方程)才算解决了FPU回归问题 §4守恒定律 非线性孤子方程的一个重要特点是存在守恒定律.为了推导 这些守恒定律.我们先考虑流体力学的连续性方程 (4.1) 这里是流量密度·设x→±x时p-0,所以 ro)d 因此xr=0.或M=|!x=常量·这表明流体的质量守 恒·与此类似,对任意的 0 若满足自然边界条件,即当x→x时=0.则7dx是守恒 量·其中T是守恒量密度 现在讨论Kd方程,由于KdⅤ方程(2.7)可以改写成 (4.2) 可见|d是守恒量.由于与水面高度有关dx与流体质量有
关,所以(4.2)式表示流体质量守恒 容易看出, (4.3) 可见|dx也是守恒量.u不仅与流体的质量、密度有关,由附录 A中的(A.23)式,也和流体的速度有关,所以,(4.3)式表示流 体动量守恒 同理,利用 62+x)x=0 上式可以改写为 9 +32l 62+t1l 所以n3+。dx是守恒量,它相应于能量守恒 事实上,KdV方程有无穷多守恒定律.为此,R.M.Mura、加 德纳(C.S. Gardner)和M.D. Kruskal等人进行了一系列研究29 考虑如下的加德纳变换: +EW,+ew (4.5) 将上式代入KdV方程, u,-61l12+lm=(1+cy+2W[W 6(W+∈W2)W+Wx]=0. 可见,若 W-6(W+εW)W:+Wx=0, (4.6) 则KdV方程成立(逆定理未必对) 若将W展开为小量E的幂级数: ew, (u) (4.7) 18
将(4.7)代入(4.5),比较E,E,E……的系数,可得 W L(,. (4.8) 将(4.7)代人(4.6),E各次幂的系数均应为0.由ε的系数得出(4. 2)式,即质量守恒,由ε的系数给出(1)+(6l1-lrx)=0,它 只是(4.2)式对x的导数,没有给出新内容.由e的系数给出了 (4.3)式,表示动量守恒,继续进行下去,由E的奇次幂的系数为 0.给不出新的守恒定律,而由E偶次幂的系数为0则给出一系列 关于l的幂及其导数的新的无穷多守恒定律 这些无穷多关于l的守恒定律,除了质量、动量、能量等少数 守恒定律外,绝大多数都没有直接的物理意义,但却给出了一个 可能合理、并为数值计算所证实的假设,即一些互相分开的孤子当 他们彼此相遇、相互作用,又互相分开后,将保持其原有的性质(波 形、速度等)不变·因为只有这样,所有的守恒量密度的积分才能 保持为运动常数 最后,我们指出,KdV方程可以由下述拉格朗日密度 1 g9- (4.9) 推出·这里已令=9,利用变分原理,由拉格朗日密度在连续变 换下保持不变的性质也可导出质量、动量、能量等守恒定律,但这 已超出本书范围,有兴趣的读者可以参阅有关的专著和文 献 §5解KdV方程初值问题的反散射方法 目前已发展了许多求解可积非线性演化方程的方法.如广田 (R. Hirota)方法贝克隆(A.V. Backlund)变换1…、反散
射方法131.31-42等.但我们感兴趣的是:从水槽实验的观点 看,为了激发KdV孤子,通常需要给系统以初始扰动.不同的初 始条件会给出不同的实验结果.解决这类非线性演化方程初值问 题的方法,一般是通过所谓“反散射法”求解,限于篇幅,我们只介 绍这个方法的梗概和主要结果,以和§6中的实验结果相互印证 和比较 存在如下定理8:设有非线性演化方程 N()=0 (5.1) 这里N是某个适当函数空间上的非线性算子,(例如对于KdⅤ方 程,可取N(u)=6l1-6lxx.)如果我们可以找到依赖于n(方程 (5.1)的解)的线性算子L、M,他们满足下述拉克斯(P.D.Lax)方 程 +[L,M]=0, (5.2) 这里[L,M]=LM-ML.L是自共轭的.若λ是下述方程的本征 值: ⅳ= 则λ与t无关,并且本征函数y满足下述时间演化方程 =Mψ (t>0)(5.4) 对于KdV方程,可选 +u(r, t) (5.5) M 1,a 3 利用上述理论,用反散射法解非线性演化方程初值问题(即已 知初值n(x,0),求满足非线性演化方程(5.1)的解)的步骤,可如 图5-1所示 1.利用(x,0)及方程(5.3),求t=0,x→∞时的散射数据 对于KdⅤ方程,即求下述定态薛定谔方程的能量本征值 Prr t u(x,Op= As (5.7) 20