而(c)及(d)则当→+∞或-∞时g()趋于不同常数值 RCE) (b) E=r-ut (c) i)圆行波解 i)弧子类型 图2-2 值得提到的是,尽管孤波原本指一类可积非线性演化方程的 局域行波解、但目前,至少在物理上已经推广到相对稳定的孤波 解即使原来方程并非可积的.例如光孤子理论中,尽管有阻尼项 的NLS方程是不可积的,实际光纤中的光孤子不可能不衰减,但 在阻尼很小的情况下,相对稳定的孤波仍被称为光孤子,在其他 些情况下,对孤波的理解也常常因实际物理问题而有所推广 下面我们分析局域性孤波为什么不会发生色散变形.讨论 下述KdV方程: 1+l2+t2+l1=0. (2.8) 如略去非线性项、有 0 (2.9) 令l=te 代入 k一k 于是相速度c=k=1-k与k有关即存在色散.色散的来源,是 2.9)式中对x的高阶导数项u1以群速度v如1-3k运 动的波包将因不同波长的波其相速度不同而发生色散,导致波形 的弥散·只有正弦波例外.因为正弦波是单一波长的波.引人x 11
x-t(在有量纲时x=x-a,c=√gd),t'=t,并略去上标“ (2.9)化成 (2.10) 设开始有局域扰动n(x、0),且满足{x|→∞时u、,、lx→-0,则 a(x,t)≈ u (y,Oe dydk fa(z,y) -(3)3(y.0) p +。}dad 3 32y4()J(y:0)y A(x)」ya(y,O)dy+ (2.11) (3t) 这里Z= (3t) (a:+-) A(x)= da ,(2.12 A(z)称为爱里(G.B.Airy)函数, 其形状如图2-3所示,至此,我们 可以有以下几点结论: A(2) (1)由(2.11),色散波u(x,t) 将按t衰减 10686-4cF20122 E (2)图2-3是在x=x-t坐标 系中考察的,在静止坐标系中,k≈0 图2-34(z)曲线 的长波以相速度c=1(有量纲时c=√gd)向右运动,波长愈短k 愈大,其向右的速度1—k2也愈小,即愈来愈落后于波前,在相对 c为静止的坐标系中,它表现为离开波前向左运动,随t增大而越 来越远 (3)色散波中先导波波前呈现很陡的上升,以后则振幅越来
越小.(这在地震津波中明显可见.) 与色散导致波形弥散相反,非线性导致波形聚拢.在方程(2 8)中略去引起色散的对x的高阶导数项,保留非线性项时(即附 录(A.11)中当d很小以致ε>g时),有 l1+(1+l)t,=0. (2.13) 这个方程可以说明激波的形成机制.显然,M=f(x-(1+)t)是 这个方程的解·此时波的相速度c=1+w,即波幅较高部分的相 速度比较低部分快,出现所谓¨追赶”现象.其结果,在波的前沿部 分波形越来越陡,形成不连续的激波,最终出现坍塌.图2-4是非 线性导致波形变陡的示意图,(i)t=0(开始时)的波形.(i)后来的 波形.这一现象很容易在浅水中看到.为了理解这一现象,可以给 个粗浅的比喻:从走道中涌出来的人流.如果开始时小孩在前 身高的大人在后;大人的速度较快往前赶,加上前面速度慢的小 孩子,如果走道的通过能力有限,必然出现拥挤和混乱现象,这就 像是向前挤压的激波 图2-↓ 综上所述,可以定性地认为:在KdV方程中,色散引起波包弥 散.非线性引起波包聚集;色散与非线性平衡,是形成孤波的机 制 §3孤子的相互作用 N2中我们已经看到·无论是罗素在实验中所观察到的孤波, 还是非线性演化方程的孤波解,都具有保持其波形和速度不变的 13
特点.问题是:当有几个这样的孤波相互作用后,他们是否仍能保 持各自的波形、速度不变?1962年佩林(J.K. Perring)和斯基尔姆 (T.H.R. Skyrme)研究用正弦-戈登方程的孤波解作为基本粒子 简单模型时,数值计算发现2,两个孤波在碰撞前后仍保持其原 有形状和速度.1965年扎布斯基(N.J. Zabusky)和MD. Kruskal 利用周期边界条件求KdV方程(2.6)即v1+wx+82wm=0的数 值解时2,使用了下述初始条件: (x,0)=cos丌x 0≤x≤2 他们选择δ=0.022,并要求所有的u、l2、x都是[0,2]区间上的周 期函数·计算发现,t=0时的初始波形 costr经过一段时间后在 =3.6/π时演化为8个高低不等的具有双曲正割函数平方(sech2) 型的孤波,较髙的孤波速度较快,它们赶上并超过速度较慢、振幅 较低的孤波·令人惊奇的是,相当长时间后这些孤波不断相互作 用,又回到初始波形·这是一个周期性回归的例子.他们通过详尽 的数值研究,进一步肯定了这些孤波相互作用后保持波形和速度 不变的粒子性,类似于光子、电子等粒子.他们用孤子来称呼这些 孤波 那么,什么是孤子呢?这很难给出关于孤子的精确而全面的定 义·通常把能发生强烈相互作用,但相互作用后仍能保持其各自 待点、形状、速度不变或只有一些位相改变的那些孤波称为孤子 习惯上,孤波指的是单个孤子解,解中出现不只一个孤波时则称为 孤子·换言之,当一个孤子与其他孤子无限分开时,这个孤子就成 为孤波.我们这里基本上采用德雷津(P.G. Drazin)和约翰逊(R S. Johnson)在《 Solitons: an Introduction》书4中的说法.但也有 相当多的文献,对孤子与孤波这两个词不加区分,混淆使用的.为 此,我们指出,并非所有有单个孤波解的方程都存在多孤子解(尽 管许多有单孤波解的方程,其中包括KdV方程、NLS方程、正弦 戈登方程等一系列方程,存在N孤子解).例如伯格斯(J.M. Burgers)方程
l2+l2 (3.1) 等式右边是阻尼项,它是考虑耗散的一维激波方程.若不计非线 性项,它又是扩散方程.所以也称作非线性扩散方程·事实上,若 令=-2(lny),代入(3.1),即化成 w= vb. (3.2) 这正是扩散方程.以y≈e代入,得出 k 与k的非实关系表明出现阻尼,现在回到(3.1)式.若不考虑 阻尼.则f(x-Mt)是方程+w=0的解,由于波的较高部分波 速较大波形越来越陡,最终出现不连续,∫出现多值,这当然不是 物理实在·考虑阻尼项W1后,波形越陡的区域w-越大,波的大 量能量将在此薄层内转化为热能,导致波的高度减小,最终出现稳 定的激波 令=x-ct,W'=l-c,方程(31)变为 上述方程有解: u'=anthi_'s (u -c)th 这是以速度c向右传播的稳定激波,是非线性与耗散平衡的结 果·虽然也是一种扭结型孤波(见图2-2(i)(c)),但方程(3.1)的 两个激波相遇后不能保持其各自形状和速度,所以不是孤子,非 线性与耗散相平衡的系统存在孤波却不存在孤子,这个现象有点 类似于蜡烛的燃烧.如把蜡烛的火焰看成孤波·火焰传播的速度是 常量·它决定于蜡烛单位长度储存的能量和用于熔融蜡烛的热量 供给情况,.但如一支蜡烛在两端燃烧,两个火焰相向传播,相遇后 将因蜡烛燃尽而消失,所以这种火焰可以看成孤波而不是孤子 类似性质也存在于神经细胞轴突的传导过程中