u(xt) 反问题散射数据随时间的渍化t=x=∝ 个 直接问题 t(x,0) t=0,x=∞时的散射数据 图5-1 由于λ=0,A为与t无关的常数 当<0时,有有限个分立谱.可令 k- N) 当λ=k>0时,为连续谱 在量子力学中上述散射问题的解满足如下的渐近边界条件 y(x,k)→e+R(k)ex→∞ T(k) x→-∞(5.8) 其中T(k)、R(k)分别是穿透系数和反射系数.对于分立本征值 yn→Cn(kn)e-bm2 (5.9) 且有 smdr=l T|2+|R|2=1(5.10) 上述T(k,O)、R(k,0)、N、k和Cn(km0)被称为散射数据,它 们都可由方程(5.3)(对KdV方程即(5.7))求出 当t=0时的T(k,0)、R(k,0)、N、Cn(k0)及km已知后, ψ(x.0)即已求出 2)利用方程(5.4)求散射数据随时间的演化,即求T(k,)、 R(k,t)和Cm(kn,t) 对KdV方程,我们利用(5.4)、(5.6)和x→士∞时u和ψ的
上述解非线性演化方程初值问题的反散射方法,已被扎哈罗 夫(B3.E.aDB)、萨巴特(\.B. Adat)和AKNS(M.J. Ablowitz D.J. Kaup, A.C. Newell.H. Segur)进行了广泛的推广·读者如有 兴趣,可参阅有关文献 下面叙述用上面的反散射方法求KdⅤ方程初值问题的一些 结果.为了保证方程(5.14)的可解性,初始条件0(x)必 须满足 (t12+t+t+uo)dx<∞ 1+x 2)Juodx 显然,椭圆余弦波不满足这些条件 存在以下三种情形 1)(5.15)中只有连续谱(Cn=0,R(k)≠0),它给出振动的波 串(或尾波).具有线性色散的特征.即长波部分移向波前,而在尾 波后部则短波占优势·整个尾波将随t增大而代数地衰减(波峰 振幅按t3衰减). 2)(5.15)中只有分立谱(C,≠0,R(k)=0,无反射势).它给 出单个或多个孤子 3)分立谱和连续谱都存在(Cn≠0,R(k)≠0),对此,目前还 没有完善的解析解,但数值计算及渐近行为分析指出:设N是分 立谱给出的孤子数,则 N≤1+2J[1+sgn(x,0)n(x,0)dx,(,17) 而R(k)≠0的连续谱部分则给出色散尾波,它随t增大而代数地 衰减(∝t3),并沿孤子运动的相反方向远离孤子而去.例如 若孤子向右运动,则色散尾波向左离去(图5-2),它对孤子的相 互作用和影响越来越小
[例1]求KdV方程 6uu.+urrr=o 的解,设初始条件为l(x,0)=- Sech2x 因为a与水面升高符号相反,所以V>0表示初始扰动为液 面升高,V<0表示液面降低, 由方程(5.7)得 Srr +(a+ vsechx)=0. 令T=thx,化成7(1-72)#+v- A.初始扰动液面降低V<0 上式只有连续谱λ=k2>0,R(k)≠0,无孤子解,只有衰减的 色散尾波图52给出u(x,0)=sech2x(v=-1)时KdV方程的 数值解,就属于这种情形 12 1043 (i) IiI 图5-2 图5-3 B.V=N(N+1)>0 没有连续谱,只有N个分立谱.R(k)=0,λ=一k2,kn=n
(n=1.2.…N).当x→+∞,y→C",一般有yn(x)3 門(thx).P(Y)为缔合勒让德多项式 C(t)=C,(0)e", 其中C(0)=1(x)dr,由归一化确定 由马尔琴科方程(5.13)~(5.15),可解得 (,t)=-2d ar 其中A为N<N矩阵,4m=om+ Cn(0) m-n 当 (x,t) 2>, sech i[n(x-nit)千 这里 2g11n 它给出孤子相互作用引起相位的改变 例如:I=2时,只有一个孤子 l(x、t) 2sech(r-4t) V=6时,有两个孤子(参看图3-1), l(x,t)=-12 3+4ch(2x-8t)+ch(4x-64t) 3ch(x-28)+ch(3x-361) 当 时 (x)→-2 sech-|x-4±l83 log 3 C.I>0.且(-1)<<(X+1) 既有连续谱,也有分立谱,分立谱给出N个孤子,连续谱给出 衰减的逐渐远离孤子的色散尾波.图5-3是KdⅤ方程初始值 a(x,0)=-4 sech'x的数值解.两个孤子向右运动,色散尾波向左 离去并逐渐衰减 L例2]为了在§6中和实验作比较,对于图5-4中的初值 25