(1.15)、(1.13)及(1.14),我们有 Φx+g、+φ:=0, d≤z≤0 (1.18) φ2+g=0, (1.19) ①=0, (1.20) 这里的下标x、y、z、t表示对这些变量取偏导数.由(1.18)~(1 21),容易求出水表面波的行波解 5=A (1.22) ig chk(z t d)icke w Ao chkd (1.23) 这里 gath(kd) (1.24) 起+k 1.25) 比较(1.22)及(1.23),可见{=i中0即小振幅波的水面扰动 高度在线性近似下正比于φ 由(1.24)立即给出波的相速度 8 1.26) 由于C与k有关,一般情况下水表面波存在色散现象,在短波深 水条件下kd>1,thkd≈1, kd>1)(1.27) 其波速与波长的平方根成正比 般情况下波长较长的水表面波其波速也较大,丢下一颗石 子到水面,开始时,局域性的扰动是剧烈的,但这种剧烈的局域性 扰动总可以看成由不同波长的波迭加而成,随着时间的演化,长 波部分的扰动以更快的速度向外传播,跟随在后的则是粼粼细波 并且愈来愈落后.原始扰动的波形在传播过程中很快就弥散变 6
形.这种长波在前,细浪在后的色散现象与因阻尼和在二维平面 上因波向四周传播能流密度逐渐减小而引起的波的振幅离开波源 越远逐渐减小的现象.在观察时是很容易区分的 另一极限情形是长波浅水近似,这时k《1.利用 lin th kd 1.由(1.26)有 (kd≤1)(1.28) 只有在此极限情形下才没有色散 由(1.24)可以求出波包的群速度 de %kd dk 2k1 sh2kd (1.29) kl>1时 g c 2 kd<1时 k 般情况下 如果考虑表面张力的影响.则(1.19)应由下式代替 g-(5:+5)=0. 于是(1.23)和(1.24)中的g都应该用g(1+a)代替.这里aa 当k小时σ<1·即长波条件下表面张力的影响可以忽略.反之 当k大时σ》1.即短波条件下重力的作用可以忽略.这时=a k-th kd称为毛细张力波.一般情况下两者都要考虑时,称为毛细 重力波·在本书中·一般取长波近似,如果不加说明,都将忽略表 面张力的影响 §2孤波的发现 §1中我们已经看到由于色散,通常情况下水面上局域性波 包型的原始扰动将要弥散变形·所以,当1834年英国科学家罗紊
( Scott russell)在爱丁堡到格拉斯哥的运河中偶然发现一个保持 其原有形状和不变速度,圆而光滑、轮廓分明、孤立的水波时,他就 感到十分惊奇,称之为“移动的巨波 步19][2 这引起了他继续研究 的兴趣.1844年他在写给第14届英国科学促进协会的报告中 报道“我正观察着一条船的运动,那船被一对马快速地拉着沿着狭 窄的运河前进船突然停下来,但被船所带动的大量河水并不停 止,它们汇集在船头附近,处于剧烈的扰动状态.然后突然离开船 头以巨大的速度向前滚动,形成一个圆而光滑、轮廓分明、巨大的 孤立的高水头,沿着运河继续前进.没有明显的形状改变和速度减 小.我骑马追踪它,它仍以每小时8至9英里的速度向前滚动并 保持其原来形状即大约30英尺长、1到1.5英尺高.然后,高度 逐渐减小,约一、二英里后消失在河道的弯弯曲曲处” 罗素首先观察到形状和移动速度都不变的局域性的水波,并 首先用“孤立的”( solitary)这个词来形容它.随后他又进行了实验 研究:用重锤落入水槽的一端来产生孤波图2-1是罗素实验的示 意图.(i)重锤落水前.(i)重锤落水后,(ⅲ)产生的孤波以恒定 速度向右移动并保持波形不变.他还从实验得出,孤波移动速度c 与水槽中静止水深d和孤波波幅A之间有如下关系: g(d+d). (2.1) 由上式看出.波幅较髙的孤波其移动速度也较快,但波幅下降到半 高度的波宽则较窄.不幸的是,罗素的发现在当时未能从流体力 (x#) G 图2.1 十罗素在实验中用重锤落水,使端水头升高,可以产生孤波.实验表明,孤 波中水体积相当于重锤所排开的水的体积但若设法使檀端水头突然降低,则佩波 能产生,而只能产生振荡的色散波串,见§6
可以有双向传播的多弧子解.它和KdⅤ方程都是流体力学方程 在长波小振幅近似下同一级近似的结果(见附录A).如我们只着 重其中单向传播的波,经过适当代换,布森内斯克方程可以归结 为KdV方程(参阅谷内俊弥和西原功修《非线性波动》61) KdV方程(2.3)通过代换 I=ks+ko, x'=kaI, t'= kat (这里k,k1,k2,k3为供选择的常数),可以给出KdV方程各种不同 形式,例如 ±61+t l4±(1+l)t+aarr=0 l,±u2+rx=0, (2.6) 等,为了讨论的方便,有的作者把 n, 0 (2.7) 当作KdV方程的标准形式.注意,与(2.3)比较,上式第二项前取 负号,表明与5的符号相反,孤子解要求水头升高{为正,则 取负号 KdV方程还可以有椭圆余弦行波解( cnoidal波,见附录A). 如图2-2中(i)所示,它是空间周期为L时间周期为T的非线性永 形波不是局域性的.(图中升()表示行波解;=x-u,是波 速,为常量.)解(2.4)才是局域行波解(因为只有在=0附近 sech的值才比较大).通常所说的孤波,是指非线性演化方程的 局域行波解.所谓“局域”,指的是非线性演化方程的解在空间的 无穷远处趋于0或趋于确定常数的情况.目前已经有一系列非线 性演化方程存在孤波解,除KdV方程外,比较重要的还有非线性 薛定谔方程(NLS方程)、正弦-戈登(W. Gordon)方程、户田(M Toda)非线性晶格方程、铁磁链方程、布森内斯克方程、波恩(M Born)-英菲尔德( M.L. Infeld)方程等,归纳起来,孤波不外图2-2 (i)中的四种类型:(a)波包型(钟型);(b)凹陷型(反钟型);(c)扭 结型,(d)反扭结型.其中(a)及(b)都是当||→∞时解g(4)→0; 10