第1章 浅水槽中的孤波与孤子 历史上,孤波的发现和孤子概念的建立.是从一维浅水槽中小 振幅波的研究开始的·由于人们对自然现象的细心观察而发现了 孤波随后又进行了认真的实验研究和理论工作,导出了描述这 物理现象的KdV方程.通过对KdV方程的数值研究.发现孤波相 互作用后仍能保持各自的波形和速度终于建立了“孤子”概念 解析方法尤其是反散射方法的发展,不仅使人们对孤子的认识和 理解更加深入而且发现一系列非线性演化方程都存在孤子解 今天,几乎物理学的各个领域都发现了孤子,或存在孤子的物理机 制,大量实验事实肯定了孤子理论的结论.孤子概念变得越来越 重要和普遍了,本章将遵循人们对孤子的这一认识过程,即由观 察、实验到理论提高和推广、再进行实验验证的过程来进行介绍 为了初学者的方便,在§1介绍了有关波动、流体力学方程和 边界条件及水波的一些内容.熟悉这些内容的读者可以直接从§ 开始阅读 §1波、水表面波和色散 §1.1波和色散 波动是自然界中最常见的现象之一·电磁波、声波、水波、地 震波、麦浪的起伏……都是波动的现象,典型的一维波动方程为
这里(x,t)是波幅,它可以是电场强度、声压、水面或地面的高度 等振动变化的物理量;c是波速(或波的相速度).方程(1.1)的通 解为 (r,t) x,坐 ∫(x-at)描述向右传播的波,g(x+cr)描述向左传播的波,波速都 是c.对于方程 十 0 l,2) 只有向右传播的行波解∫(x-ct).而方程 =0 蜊只有向左传播的行波解g(x+ct).这里所说的行波解,是指偏 微分方程的解具有q=g(母)的形式,其中=xe、c是一个正的 常数.例如上面提到的f(x-ct)、g(x+dt)等都是行波解.典型 的单色平面波解是 , t ) Acos kr -aix) 这里波矢k=,圆频率0=2xfF入∫和T分别是波的波 长、频率和周期(高维时,k由矢量k代替,k的方向即波前传播方 向).波速或波的相速度 k 更复杂的波形变化可由许多具有不同振幅、波矢和频率的平面波 叠加而成.波包则是由一些波矢和频率相近的波所组成,波包运 动的群速度 dw dk 它也是波的能量传输速度 构成波包的每一个单色平面波的波前以各自的相速度向前传 播,可见只有当c与k无关时波包才能保持其形状不变.当
f(k) 是k的非线性函数或 c= fck)/k 1.7) 与k有关时,构成波包的不同ω的单色平面波的波前速度不相同 波包将逐渐变形弥散,这就是色散所引起的效应,关系式(1.6)或 (1.7)通常称之为色散关系 方程(1.1)、(1.2)和(1.3)是线性的,波的叠加原理成立.如 果描述波的方程是非线性偏做分方程.则迭加原理不成立一般也 不可积.但如果它是可积的并且有孤子解通常也存在N孤子 §1.2流体力学方程 流体力学中的波动现象十分丰富,由于流体的可压缩性在 流体内部可以传播声波,在不同流体或同一流体不同密度的界面 层可以存在内波.在流体表面有因表面张力而引起的毛细波,水面 的波浪、海啸、潮汐和海岸附近的风暴潮等也无一不是波动现象 它们和重力、地球的自转及月亮和太阳的引力有关.本书所涉及 的水槽中的孤波是水表面波,其恢复力是重力 描述流体力学的方程主要是连续性方程和纳维斯托克斯 (\ avier- Stokes)方程·对于液体重力波来说.流体密度变化可以 dp 忽略不计·于是连续性方·=0简化为 F·V=0. 纳维-斯托克斯方程有形式 (v·)V 这里ⅴ是流体速度·P是压强为流体密度(已取为常量).g为 重力加速度,=是流体运动粘滞系数.上式中已取直角坐标系 的轴垂直流体表面向上,并取流体无扰动的静止表面为x=0
在水中ν=0.0lcm2/sec很小,因此除了速度梯度很大的非常薄的 边界层外,忽略粘滞性是很好的近似.不可压缩无粘滞性的流体称 为理想流体若流体的运动是无旋的,则可令 V= V9 (1.10) φ是速度的标量势,于是方程(1.8)变为 0 d≤z≤(1.11) 这里已取水深为d,扰动后相对z=0的流体表面高度为.取v= 0,将(1.10)代入(1.9),对空间进行积分并适当选取积分常数, 即可得到熟知的伯努利(D. bernoulli)方程 x≤5(1.12) 方程(1.11)和(1.12)是决定理想流体无旋运动的方程,为了求出 实际问题的解还必须知道流体运动所满足的边界条件,显然,流 体不能流出容器边界.在固定的固体界面上流体的法向速度vn 必须为0.即 =0.(容器界面上)(1.13) 这里n是容器界面的法线方向.对于与大气接触的流体的自由表 面,设该表面的方程为z=(x,y,t),亦即该表面由方程 FOr 5(x,y,t) 表示,由于流体表面上的流体质点不能穿出流体表面,该流体质 点在流体表面上的法向速度v必须与流体表面的法向速度q相 同.注意到流体表面单位法线矢量m VF IVF ,所以 V·VF VF VFI IVF 为了求出q·VF,设时刻t+dt时流体表面方程变为F(x+qdt t+dt)=0,展开后, (x +dt t+dt)=F(xt)+i dF +q·VFdt+o(dr2)=C
因为F(x,1)=0.所以方q·下F=0或q·F= F 利用x 即有 v·下F F 利用(1.10)·并由F=≤-5(、1)=0计算F·最后我们得到流体 自由表面的边界条件为 at d r dr ddr de (1.14 方程(1、11)~(1.14)是本书中常用的非线性流体力学偏微分方程 组 方程(1.12)如在流体表面=处取值.则有 P x=y)(1.15 其中P为大气压强.如果需要考虑流体的表面张力微曲曲面流 体中邻近表面的压强近似为 (1.16) 方程(1.15)变为 冲1(4)g、9=p·(=5)(1.17) 其中a为流体的表面张力系数 般将忽略耗散项的影响.在需要考虑粘滞性引起的耗敝 时,我们将要作一些合理的简化处理 §1.3线性小振幅水波 小振幅波ξ很小,可以略去非线性项、方程(1.12)用(1.15) 代替,并取P。为0.近似地,不妨取液面为c=0.由方程(1.11)、 更严格的考虑曲率半径·表面张力项一只应由“,(1)4(1 )-234(1+好一)代替