为聚点；既非聚点，又非孤立点，则必为外点例2 设点集 E=((p,q)| p,α为任意整数).显然,E中所有点（p,）全为E的孤立点；并有E'=O, intE =O, aE = E※一些重要的平面点集根据点集所属的点所具有的特殊性质，可来定义一些重要的点集开集一一若E所属的每一点都是E的内点(即E=intE),则称E为开集后页返回前页
前页 后页 返回 为聚点; 既非聚点, 又非孤立点, 则必为外点. 例2 设点集 E p q p q = ( , ) , . 为任意整数 显然, E 中所有点 ( p, q ) 全为 E 的孤立点; 并有 d E E E E = = = , int , . ※ 一些重要的平面点集 根据点集所属的点所具有的特殊性质, 可来定义一 些重要的点集. 开集—— 若 E 所属的每一点都是 E 的内点( 即E = int E ), 则称 E 为开集
一若E的所有聚点都属于E（即E=E),则闭集称E为闭集.若E没有聚点(即E°=の),这时也称E为闭集例如前面列举的点集中，(2)式所示的 C是开集;(3)式所示的S是闭集；（4)式所示的D既非开集，文非闭集；而(1)式所示的R2既是开集又是闭集.在平面点集中,只有R2与①是既开又闭的开域若非空开集E具有连通性，即E中任意两点之间都可用一条完全含于E的有限折线相连接返回前页后页
前页 后页 返回 E 为闭集. 例如前面列举的点集中, (2)式所示的 C 是开集; (3) 式所示的 S 是闭集; (4)式所示的 D 既非开集, 又 非闭集; 而(1)式所示的 R 2 既是开集又是闭集. 在 平面点集中, 只有 R 2 与 是既开又闭的. 开域——若非空开集 E 具有连通性, 即 E 中任意两 点之间都可用一条完全含于 E 的有限折线相连接, 闭集——若 E 的所有聚点都属于 E ( ), 即E E = 则 称 E 为闭集. 若 E 没有聚点 d ( ), 即E = 这时也称
则称E为开域.简单地说，开域就是非空连通开集闭域一开域连同其边界所成的集合称为闭域区域-一开域、闭域、开域连同其一部分界点所成的集合，统称为区域不难证明：闭域必为闭集；而闭集不一定为闭域在前述诸例中，(2)式的 C是开域，(3)式的 S是闭域,(1)式的R2既是开域又是闭域,(4)式的 D 是区域(但既不是开域又不是闭域).又如(5)G =((x, y)/ xy >0),返回前页后页
前页 后页 返回 则称 E 为开域. 简单地说, 开域就是非空连通开集. 闭域—— 开域连同其边界所成的集合称为闭域. 区域—— 开域、闭域、开域连同其一部分界点所 成的集合, 统称为区域. 不难证明: 闭域必为闭集; 而闭集不一定为闭域. 在前述诸例中, (2)式的 C 是开域, (3)式的 S 是闭 域, (1)式的 R 2 既是开域又是闭域, (4)式的 D 是区 域 (但既不是开域又不是闭域). 又如 G x y xy = ( , ) | 0 , (5)
它是I、ⅢI两象限之并集.虽然它是开集，但因不具有连通性，所以它既不是开域，也不是区域有界点集一对于平面点集E，若3r>0,使得E cU(O; r),其中O是坐标原点（也可以是其他固定点），则称E为有界点集.否则就为无界点集（请具体写出定义）前面(2),(3),(4)都是有界集，(1)与(5)是无界集。E为有界点集的另一等价说法是：存在矩形区域[a, b]x[c, d]- E.后页前页返回
前页 后页 返回 它是 I、 III 两象限之并集. 虽然它是开集, 但因 不具有连通性, 所以它既不是开域, 也不是区域. 有界点集——对于平面点集 E, 若 r 0, 使得 E U O r ( ; ), 其中 O 是坐标原点(也可以是其他固定点), 则称 E 为有界点集. 否则就为无界点集(请具体写出定义). 前面 (2), (3), (4) 都是有界集, (1) 与 (5) 是无界集. E 为有界点集的另一等价说法是: 存在矩形区域 [ , ] [ , ] . a b c d E
此外，点集的有界性还可以用点集的直径来反映所谓点集E的直径，就是d(E)= sup p(P, P2),P,P,EE其中p(P1, P2) 是 Pi (xi,Ji)与 P2 (x2,y2)之间的距离,即p(P, P) = /(x, -x,)° +(yr- y2)°.于是，当且仅当d(E)为有限值时，E为有界点集根据距离的定义，不难证明如下三角形不等式p(P, P2)≤ p(P, P) + p(P2, P)后页返回前页
前页 后页 返回 此外，点集的有界性还可以用点集的直径来反映, 所谓点集 E 的直径, 就是 1 2 1 2 , ( ) sup ( , ), P P E d E P P = 其中ρ(P1 , P2 ) 是 P1 (x1 , y1 ) 与 P2 (x2 , y2 )之间的距 离, 即 2 2 1 2 1 2 1 2 ( , ) ( ) ( ) . P P x x y y = − + − 于是, 当且仅当 d(E) 为有限值时, E为有界点集. 根据距离的定义, 不难证明如下三角形不等式: 1 2 1 3 2 3 ( , ) ( , ) ( , ). P P P P P P +