※举例讨论上述点集的性质U°(xo;8)例3 证明:对任何 ScR2Xoas恒为闭集yS证如图16-4所示，设XoU(y;8)为s的任一聚点，欲证as图16- 4XoEaS（即xo亦为S的界点）.为此Vε>0,由聚点定义，存在yeU(xo; e)nos.再由为界点的定义，U(y;S)U(xo;ε),在后页返回前页
前页 后页 返回 ※ 举例讨论上述点集的性质 例3 证明: 对任何 2 S R , S 恒为闭集. 证 如图16 – 4 所示, 设 0 x 为 S 的任一聚点，欲证 x0S （即 x0 亦为 S 的界 点）. 为此 0, 由聚点定义，存在 0 y U x S ( ; ) . S S 0 x 0 U x( ; ) U y( ; ) y 图 16 –４ y 0 再由 为界点的定义, U y U x ( ; ) ( ; ) , 在
U(y;8)内既有S的点,又有非 S的点.由此推知在U(xo;)内既有 S 的点,又有非 S的点.所以,由 ε的任意性,xo为 S的界点,即 xoε?S,也就证得 as为闭集.注 类似地可以证明:对任何点集 ScR2,导集 Sd亦恒为闭集.（留作习题）*例4设ER.试证E为闭集的充要条件是：E=EUaE 或 E°=int(E)后页返回前页
前页 后页 返回 U y( ; ) 内既有 S 的点, 又有非 S 的点. 由此推知在 x0 S 0 的任意性, 为 的界点, 即 x S , 也就证得 S 为闭集． 注 类似地可以证明: 对任何点集 2 d S S R , 导集 亦恒为闭集. ( 留作习题 ) 2 例4 设 E R . 试证 E 为闭集的充要条件是： c int ( ). c E E E E E = = 或 U x( ; ) 0 内既有 S 的点, 又有非 S 的点. 所以, 由