注意：不要把上面的空心方邻域错写成：（请指出错在何处？）((x,y)/ 0<|x-xok8, 0<ly-yoks). X※点和点集之间的关系任意一点AER?与任意一个点集ECR之间必有以下三种关系之一：(i) 内点—若S>0,使U(A;) E, 则称点 A是E的内点：由E的全体内点所构成的集合称头E的内部，记作intE前页后页返回
前页 后页 返回 ( , ) 0 | | , 0 | | . x y x x y y − − 0 0 注意: 不要把上面的空心方邻域错写成: ( 请指出 ※ 点和点集之间的关系 以下三种关系之一: 2 AR 2 任意一点 与任意一个点集 E R 之间必有 是 E 的内点; 由 E 的全体内点所构成的集合称为 (i) 内点——若 0, ( ; ) , 使U A E 则称点 A E 的内部, 记作 int E. 错在何处? )
(ii) 外点若S>0,使 U(A;8)nE=,则称点A是E的外点；由E的全体外点所构成的集合称为E的外部——若>0,恒有(ii) 界点-U(A;)E +① 且 U(A; )NE +0(其中E°=R2\E),则称点A是E的界点;由 E的全体界点所构成的集合称为E的边界；记作?E注E的内点必定属于E；E的外点必定不属于E;E的界点可能属于E,也可能不属于E.并请注意：后页返回前页
前页 后页 返回 (ii) 外点——若 = 0, ( ; ) , 使 U A E 则称 点 A 是 E 的外点；由 E 的全体外点所构成的集合 c U A E U A E ( ; ) ( ; ) 且 (iii) 界点—— 若 0, 恒有 c 2 (其中 E E = R \ ), 则称点 A 是 E 的界点; 由 E 的全体界点所构成的集合称为 E 的边界; 记作 E. 注 E 的内点必定属于 E; E 的外点必定不属于 E; E 的界点可能属于 E, 也可能不属于 E. 并请注意: 称为 E 的外部
只有当?ECE时,E的外部与 E°才是两个相同的集合。例1设平面点集（见图16－3）yD=((x, y) / 1≤x* + y2<4 ). (4)满足1<x2+<4的一切点都2xC是D的内点；满足x2+y=1的一切点是D的界点，它们都属图 16-3于D;满足x2+y=4的一切点也是D的界点，但它们都不属于D后页返回前页
前页 后页 返回 E E c 只有当 时, E 的外部与 E 才是两个相同 的集合. 2 2 D x y x y = + ( , ) 1 4 . (4) 图 16 – 3 x y O 1 2 例1 设平面点集（见图 16 – 3） 于D; 满足 x y 2 2 + = 4 的一切点也 2 2 是 D 的内点; 满足 x y + = 1 的一切点是 D 的界点, 它们都属 2 2 满足 1 4 + x y 的一切点都 是 D 的界点, 但它们都不属于D
点A与点集E的上述关系是按“内-外”来区分的.此外，还可按“疏-密”来区分，即在点A的近产是否密集着E中无穷多个点而构成另一类关系：(i) 聚点一若在点 A 的任何空心邻域U(A)内都含有E中的点，则称点A是点集E的聚点注1聚点本身可能属于E，也可能不属于E注2聚点的上述定义等同于：“在点A的任何邻域U(A)内都含有E中的无穷多个点”。注3E的全体聚点所构成的集合称为E的导集，记后页返回前页
前页 后页 返回 点 A 与点集 E 的上述关系是按 “内-外” 来区分 的. 此外，还可按 “疏-密” 来区分，即在点 A 的近 旁是否密集着 E 中无穷多个点而构成另一类关系: (i) 聚点—— 若在点 A 的任何空心邻域 U A( ) 内都 含有 E 中的点，则称点 A 是点集 E 的聚点． 注1 聚点本身可能属于E，也可能不属于E. 注2 聚点的上述定义等同于: “在点 A 的任何邻域 U A( ) 内都含有 E 中的无穷多个点”. 注3 E 的全体聚点所构成的集合称为 E 的导集, 记
作E'(或E')又称EUE'为E的闭包，记作E例如，对于例1中的点集D,它的导集与闭包同为Dd=((x, y) | 1≤x + y2≤4)= D,其中满足x2+y2=4的那些聚点不属于D,而其余所有聚点都属于D-若点AEE,但不是E的聚点（即(i) 孤立点有某>0,使得U（A;)NE=①)，则称点A是E的孤立点注孤立点必为界点；内点和不是孤立点的界点必后页返回前页
前页 后页 返回 d E E ( ) ; 或 d 作 又称 E E 为 E 的闭包, 记作 E. 例如, 对于例1 中的点集 D, 它的导集与闭包同为 d 2 2 D x y x y D = + = ( , ) 1 4 . 其中满足 2 2 x y + = 4 的那些聚点不属于D, 而其余 所有聚点都属于 D. (ii) 孤立点—— 若点 A E , 但不是 E 的聚点（即 有某δ>0, 使得 U A E ( ; ) ), = 则称点 A 是 E 的孤立点. 注 孤立点必为界点; 内点和不是孤立点的界点必