dxC+2/x2dx例4求(1+x)/2+x-x21+x即可有理化，（略）.解：令t=N2-x说明：用下面的方法计算本题较为简单drdxdx(1+x)/2+x-x(1+ x)/3(1 +x)-(1+ x)3(1 + x)2V1+x2331-1+C3V1+x31 + xV1+ x2.「R(x,Vax2+bx+c)dx型不定积分(a>0时，b2-4ac+0，a<0时，b2-4ac>0)。一般地，当a>0时，令ax?+ba+c=Vax+t即可将积分有理化之；当c>0时，令Vax?+ba+c=xt土c即可将积分有理化之．以上两种变换均称为欧拉变换.注意：初等函数的原函数不一定是初等函数，因此，在初等函数的范围内，某些初等函数的原函数是不存在的，即使该函数可积（见教材P198）.作业P2001（1)(2）(3)，2（1)（3)109
109 dx x x x 2 1 2 ) 2 ( ) 2 1 ( 1 4 4 2 2 2 2 x d x x dx x dx x x ． 例 4 求 2 (1 x) 2 x x dx ． 解：令 x x t 2 1 即可有理化，（略）． 说明：用下面的方法计算本题较为简单 2 (1 x) 2 x x dx 2 (1 x) 3(1 x) (1 x) dx 1 1 3 (1 ) 2 x x dx 1) 1 3 ( 1 1 3 1 3 1 x d x C x 1 1 3 3 2 ． 2． R(x, ax bx c )dx 2 型不定积分(a 0 时， 4 0 2 b ac ， a 0时， 4 0) 2 b ac ． 一 般 地 ， 当 a 0 时 ， 令 ax ba c ax t 2 即 可 将 积 分 有 理 化 之 ； 当 c 0 时 ， 令 ax ba c xt c 2 即可将积分有理化之．以上两种变换均称为欧拉变换． 注意：初等函数的原函数不一定是初等函数，因此，在初等函数的范围内，某些初等函数的原函数是不 存在的，即使该函数可积（见教材 P198）． 作业 P200 1（1）（2）（3），2（1）（3）
第九章定积分81定积分概念【教学目的】掌握定积分的定义，了解定积分的几何意义和物理意义【教学要求】要求掌握定积分的定义，并了解定积分的几何意义【教学重点】“分割、近似求和、取极限”变量数学思想【教学难点］“分割、近似求和、取极限”变量数学思想的建立【教学方法】“系统讲授”结合“问题教学”【教学程序]一问题的提出不定积分和定积分是积分学中的两大基本问题，求不定积分是求导数的逆运算，而定积分则是某种特殊和式的极限，它们之间既有本质的区别，但也有紧密的联系，先看两个实例。1.曲边梯形的面积设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(x)≥0.则由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b以及x轴所围成的平面图形（如下左图），称为曲边梯形。下面将讨论该曲边梯形的面积（这是求任何曲线边界图形的面积的基础）在区间[a,b]内任取n-1个分点，依次为a=xo<x<x<...<x-I <x,=b它们将区间[a,b]分割成n个小区间[xi-1,x,]，i=1,2,",n.记为Ax,，即△x,=[x-1,x,]，i=1,2,"",n.并用Ax,表示区间[x-1,x,]的长度，记=max(Ax,Ax2,Ax,，再用直线x=x，i=1,2,,n-1把曲边梯形分割成n个小曲边梯形（如上右图)。在每个小区间[x-1,x,]，i=1,2,,n上任取一点,，i=1,2,,n，作以f(,）为高，△x,为底的小矩形，其面积为f(s,）△x,，当分点不断增多，又分割得较细密时，由于f(x)连续，它在每个小区间[X-1,x,]上的变化不大，从而可用这些小矩形的面积近似代替相应的小曲边梯形的面积。于是，该曲边梯形面积的近似值为S～≥{(s,)Ax，·从而i=IS = lim Z f(5,)Ax,.2.变力所作的功W设质点受力F的作用沿x轴由点α移动到点b，并设F处处平行于x轴（如下图)，同上述，有W≥F(5,)Ax，而W=lm≥F(5)4xi=l台二定积分的定义定义1设闭区间[a.b]内有n-1个点，依次为a=x<x,<x,<.<xn-<x,=b,110
110 第九章 定积分 §1 定积分概念 [教学目的] 掌握定积分的定义,了解定积分的几何意义和物理意义． [教学要求] 要求掌握定积分的定义，并了解定积分的几何意义 [教学重点] “分割、近似求和、取极限”变量数学思想. [教学难点] “分割、近似求和、取极限”变量数学思想的建立 [教学方法] “系统讲授”结合“问题教学”． [教学程序] 一 问题的提出 不定积分和定积分是积分学中的两大基本问题，求不定积分是求导数的逆运算，而定积分则是某种特殊 和式的极限，它们之间既有本质的区别，但也有紧密的联系．先看两个实例． 1．曲边梯形的面积 设函数 f (x) 在闭区间[a,b]上连续，且 f (x) 0 ．则由曲线 y f (x)，直线 x a ， x b以及 x 轴所围成的平面图形（如下左图），称为曲边梯形．下面将讨论该曲边梯形的 面积（这是求任何曲线边界图形的面积的基础）． 在区间[a,b]内任取 n 1个分点，依次为 a x x x x x b 0 1 2 n1 n 它们将区间[a,b]分割成 n 个小区间[ , ] i 1 i x x ，i 1,2,, n ．记为 i x ，即 [ , ] i i 1 i x x x ，i 1,2,, n ．并 用 i x 表示区间[ , ] i 1 i x x 的长度，记 max{ , , , } 1 2 n T x x x ，再用直线 i x x ，i 1,2,, n 1把曲 边梯形分割成 n 个小曲边梯形（如上右图）．在每个小区间 [ , ] i 1 i x x ， i 1,2,, n 上任取一点 i ， i 1,2,, n ，作以 ( ) i f 为高， i x 为底的小矩形，其面积为 ( ) i f i x ，当分点不断增多，又分割得较细 密时，由于 f (x) 连续，它在每个小区间[ , ] i 1 i x x 上的变化不大，从而可用这些小矩形的面积近似代替相应 的小曲边梯形的面积．于是，该 曲边梯形面积的近似值为 n i i i S f x 1 ( ) ．从而 i n i i T S f x lim ( ) 1 0 ． 2．变力所作的功 W 设质点受力 F 的作用沿 x 轴由点 a 移动到点b ，并设 F 处处平行于 x 轴（如下 图），同上述，有 i n i i W F x ( ) 1 ，而 i n i i T W F x lim ( ) 1 0 ． 二 定积分的定义 定义 1 设闭区间[ a.b ]内有 n 1个点，依次为 a x0 x1 x2 xn1 xn b
将闭区间[a.b]分成n个小区间，记为Ax,=[xi-1,x,]，i=1,2,,n，简记为T=(xo,x,",x,，或T={Ax,Axz,",Ax,并称为区间[a.b]的一个分割．同时也用Ax,=x,-xi-，i=1,2,",n，并记T=max(Ax,)称为分割T的模，定义2设f(x)是定义在[a.b]上的一个函数，对于[a.b]的一个分割T=(Ax,Ax2,",△r,)，任取点5,EAx,，i=1,2,,n，并作和式f(5,)Ax，称此和式为f(x)在[a.b])关于分割T的一个积分和，也称黎曼和.（注：积分和既与分割T有关，也与点，的取法有关）又设J是一个确定的实数，若对任给的ε>0，总存在8>0，使得对[a.b]的任意分割T，以及5,e△x,，i=1,2,,n，只要<8，就有f(E)Ax2e则称函数f(x)在[a.b]上可积或黎曼可积.数J称为函数f(x)在[a.b]上的定积分或黎曼积分，记作：J = "f(x)dx其中f(x)称为被积函数，x称为积分变量，【a.b]称为积分区间，f(x)dx称为被积式，a,b分别称为积分的下限和上限定积分的几何意义：定积分的几何意义就是----由连续曲线y=f(x)≥0及直线x=a,x=b,=0所围曲边梯形的面积注：定积分f(x)dx的值只与被积函数f(x)及积分区间[a.b)有关，而与积分变量所用的符号无关例1求由抛物线y=x?，xe[0,1]，及y=0所围平面图形的面积解（在用定义求定积分时，一般都要选用特殊的分割T和特殊的点5，），如下图：取分割T为n等份，并取5,=1二1,，i=1,2,…n．则所为面积为：n11S= limZ(-l).1=lim -C(i-1)nnn-n(n-1)n(2n-1)_ 1-lim6n3111
111 将闭区间[ a.b ]分成 n 个小区间，记为 [ , ] i i 1 i x x x ， i 1,2,, n ，简记为 { , , , } 0 1 n T x x x ，或 { , , , } 1 2 n T x x x 并称为区间[ a.b ]的一个分割．同时也用 i i i1 x x x ， i 1,2,, n ，并记 max{ } 1 i i n T x 称为分割 T 的模． 定义 2 设 f (x) 是定义在[ a.b ]上的一个函数，对于[ a.b ]的一个分割 { , , , } 1 2 n T x x x ，任取点 i i x ，i 1,2,, n ，并作和式 i n i i f x ( ) 1 ．称此和式为 f (x) 在[ a.b ]关于分割 T 的一个积分和，也称 黎曼和．（注：积分和既与分割 T 有关，也与点 i 的取法有关）． 又设 J 是一个确定的实数，若对任给的 0 ，总存在 0，使得对[ a.b ]的任意分割 T，以及 i i x ， i 1,2,, n ，只要 T ，就有 n i i i f x J 1 ( ) ． 则称函数 f (x) 在[ a.b ]上可积或黎曼可积．数 J 称为函数 f (x) 在[ a.b ]上的定积分或黎曼积分，记作： b a J f (x)dx 其中 f (x) 称为被积函数， x 称为积分变量，[ a.b ]称为积分区间， f (x)dx 称为被积式， a,b 分别称为积分 的下限和上限． 定积分的几何意义：定积分的几何意义就是-由连续曲线 y f (x) 0 及直线 x a, x b, y 0 所 围曲边梯形的面积． 注：定积分 b a f (x)dx的值只与被积函数 f (x) 及积分区间[ a.b ]有关，而与积分变量所用的符号无关． 例 1 求由抛物线 2 y x ， x [0,1] ，及 y 0所围平面图形的面积． 解 （在用定义求定积分时，一般都要选用特殊的分割 T 和特殊的点 i ），如下图： 取分割 T 为 n 等份，并取 i n i 1 ，i 1,2,, n ．则所为面积为： n n i S n i n 1 ) 1 lim ( 2 1 = n i n i n 1 2 3 ( 1) 1 lim = 3 1 6 ( 1) (2 1) lim 3 n n n n n ．
第十章定积分的应用S1平面图形的面积教学目的：掌握平面图形面积的计算公式.教学要求：1）掌握平面图形面积的计算公式，包括参量方程及极坐标方程所定义的平面图形面积的计算公式。2）较高要求：提出微元法的要领，教学重点：平面图形面积的计算公式.教学难点：平面图形面积的计算公式及其应用教学方法：讲授为主，教学程序：1、直角坐标系下平面图形的面积：由定积分的几何意义，连续曲线y=f（x）(≥）与直线x=a,x=b(b>a),x轴所围成f(x的曲边梯形的面积为(x)dx若y=f(x)在[a,b]上不都是非负的,b则所围成的面积为f(x)/dx一般的，有两条连续曲线y=f(x)，yz=f(x）及直线x=a，x=b(b>a）所围成的平面图形的面积为A=JLf,(x)-fi(x)]dxA=J[g2(y) -g;(y)]dyf.(x)g2(g)V(x)ab例1、求y=x，x=y所围的面积S例2、例2、求y=sinx、y=cosx在[0,2元]上所围图形的面积.112
112 第十章 定积分的应用 § 1 平 面 图 形 的 面 积 教学目的：掌握平面图形面积的计算公式． 教学要求：1) 掌握平面图形面积的计算公式，包括参量方程及极坐标方程所定义的平面图形面积的计算公式． 2) 较高要求：提出微元法的要领． 教学重点：平面图形面积的计算公式． 教学难点：平面图形面积的计算公式及其应用. 教学方法：讲授为主. 教学程序： 1、直角坐标系下平面图形的面积 ： 由定积分的几何意义，连续曲线 y f (x) ( 0) 与直 线 x a , x b (b a) , x 轴所围成 的曲边梯形的面积为 b a A f (x)dx 若 y f (x) 在 [a, b] 上不都是非负的， 则所围成的面积为 b a A | f (x) | dx 一般的，有两条连续曲线 ( ) , ( ) 1 1 2 2 y f x y f x 及直线 x a , x b (b a) 所围成的平面图形的面积为 b a A [ f (x) f (x)]dx 2 1 d c A [g ( y) g ( y)]dy 2 1 例 1、 求 2 y x ， 2 x y 所围的面积 S． 例 2、 例 2、求 y sin x 、 y cos x 在[0,2 ]上所围图形的面积． y f (x) b ( ) 2 y f x ( ) 1 y f x ( ) 1 xg y ( ) 2 xg x c d a b
例3、已知y=ax?+bx通过点(1,2)与y=-x2+2x有个交点x>0，又a<0，求y=ax2+bx与y=-x2+2x所围的面积S，又问a,b为何值时，S取最小值？例4、求抛物线y2=2x与直线x-y=4所围成的图形的面积.2、参数方程形式下的面积公式x= x(t)若所给的曲线方程为参数形式：(α≤t≤β)，其中y(x)是连续函数，x(t)是连续可微函y=y(t)[x=x(t)数，且x(t)≥0且x(α)=a，x(β)=b，那么由，x轴及直线x=a，x=b所围图形的面积s的公(y= y(t)式为S=['lyldx(1). (α<β)(x=a(t-sint)（a>0）一个拱与x轴所围的图形的面积例5、求旋轮线：y=a(l-cost)[x=acost例6、求椭圆（a>0，b>0）的面积S.ly=bsint3、极坐标下的面积公式设曲线的极坐标方程是：r=r(の)，α≤≤β，r(①)eC[α,β，则由曲线r=r(①)，射线=α及1rB2r2(0)deO=β所围的扇形面积S等于S:2Jg例7、求双纽线r2=2a2cos2所围图形面积S20例8、求由r=sin0≤0≤3元，所决定的外层曲线和内层曲线之间的面积S3°例9、求三叶形成曲线r=asin30（a>0）所围图形面积作业：P1422,41，2828由平行截面面积求体积教学目的：掌握由平行截面面积求体积的计算公式，教学要求：掌握由平行截面面积求体积的计算公式，教学重点：由平行截面面积求体积的计算公式教学难点：进一步领会微元法的要领教学方法：讲授为主，教学程序：（一）一般体积公式：设一几何体夹在x=a和x=b（a<b）这两个平行平面之间，用垂直于X轴的平面去截此几何体，设载113
113 例 3、已知 2 y ax bx 通过点(1,2)与 2 y x 2x 有个交点 1 x 0 ，又 a<0，求 2 y ax bx 与 2 y x 2x 所围的面积 S，又问 a,b 为何值时，S 取最小值？ 例 4、求抛物线 2 y 2x 与直线 x y 4所围成的图形的面积． 2、参数方程形式下的面积公式 若所给的曲线方程为参数形式： ( ) ( ) x x t y y t （ t ），其中 y(x)是连续函数，x(t)是连续可微函 数，且 x(t) 0 且 x() a ， x() b ，那么由 ( ) ( ) x x t y y t ，x 轴及直线 x＝a，x＝b 所围图形的面积 S 的公 式为 S | y | dx(t) ．（ ） 例 5、求旋轮线： ( sin ) (1 cos ) x a t t y a t （a>0）一个拱与 x 轴所围的图形的面积． 例 6、求椭圆 cos sin x a t y b t （a>0，b>0）的面积 S． 3、极坐标下的面积公式 设曲线的极坐标方程是： r r( ) ， ， r( )C[, ] ，则由曲线 r r( ) ，射线 及 所围的扇形面积 S 等于 1 2 ( ) 2 S r d ． 例 7、求双纽线 2 2 r 2a cos 2 所围图形面积 S． 例 8、求由 2 sin 3 r ，0 3 ，所决定的外层曲线和内层曲线之间的面积 S． 例 9、求三叶形成曲线 r a sin 3 （a>0）所围图形面积． 作业：P142 1， 2， 4 § 2 由平行截面面积求体积 教学目的：掌握由平行截面面积求体积的计算公式． 教学要求：掌握由平行截面面积求体积的计算公式． 教学重点：由平行截面面积求体积的计算公式 教学难点：进一步领会微元法的要领. 教学方法：讲授为主. 教学程序： （一）一般体积公式： 设一几何体夹在 x＝a 和 x＝b（a<b）这两个平行平面之间，用垂直于 X 轴的平面去截此几何体，设载