面与X轴交点为（x，0)，可得的截面面积为S（x)，如果S(x)是[a,b)上的（R）可积函数，则该几何体的体积V等于：V=["s(x)dx.例1求两圆柱x?+y?=a,x?+2?=a2所围的立体体积例2求底面积为S，高为h的斜柱体的体积Vxy2 22例3、求由椭球面=1所围的几何体体积．（a,b,c>0)α?b?c?（二）旋转体的体积设y=y(x)于[a,b)（R）可积，曲线y=y(x)，a≤x≤b，绕x轴产生旋转体的截面积为S(x)=元y(x)，则V旋体=[S(x)dx = 元y'd例4、求底半径为r，高为h的圆锥体的体积V例5求由圆x2+(y-R)≤r2(0<r<R)1绕x轴所产生的旋转体体积.作业：P2462（2）（4)，3s3.平面曲线的弧长与曲率教学目的：掌握平面曲线的弧长与曲率。教学要求：掌握平面曲线的弧长计算公式，教学重点：平面曲线的弧长计算公式.教学难点：平面曲线的弧长计算公式及其应用教学方法：讲授为主教学程序：1、曲线的长度（弧长）的概念一条线段的长度可直接度量，但一条曲线段的“长度”一般却不能直接度量，因此需用不同的方法来求[x= x(0)设平面曲线C由参数方程（α≤1≤β）给出，设P=(to,,.,,是[α,β]的一个划分(y=y(t)[t=α,t,=β]，即α=t<t<..<t,=β，它们在曲线C上所对应的点为M=(x(to),y(to)),M,=(x(t),y(t))，，M,=(x(t),y(t).从端点M开始用线段一次连接这些分点M。，M,，，Mn得到曲线的一条内接折线，用M-M,来表示M-M的长度，则内接折线总长度为S, =ZM,_M,-ZV[(x(,)- x(t)+[(v(,)- y(t)islia/曲线C的弧长S定义为内接折线的总长在p=maxal,→0时的极限：114
114 面与 X 轴交点为（x，0），可得的截面面积为 S（x），如果 S(x)是[a,b]上的（R）可积函数，则该几何体的体 积 V 等于： ( ) b a V S x dx ． 例 1 求两圆柱 2 2 2 2 2 2 x y a , x z a 所围的立体体积 例 2 求底面积为 S，高为 h 的斜柱体的体积 V． 例 3、求由椭球面 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c 所围的几何体体积．(a,b,c>0) （二）旋转体的体积 设 y＝y(x)于[a,b]（R）可积，曲线 y＝y(x)，a≤x≤b，绕 x 轴产生旋转体的截面积为 S(x)＝ 2 y (x) ，则 V旋体 ＝ 2 ( ) b b a a S x dx y dx 例 4、求底半径为 r，高为 h 的圆锥体的体积 V． 例 5 求由圆 ( ) (0 ) 2 2 2 x y R r r R 1 绕 x 轴所产生的旋转体体积． 作业：P246 2（2）（4）， 3 §3. 平面曲线的弧长与曲率 教学目的：掌握平面曲线的弧长与曲率． 教学要求：掌握平面曲线的弧长计算公式． 教学重点：平面曲线的弧长计算公式． 教学难点：平面曲线的弧长计算公式及其应用. 教学方法：讲授为主. 教学程序： 1、曲线的长度（弧长）的概念 一条线段的长度可直接度量，但一条曲线段的“长度”一般却不能直接度量，因此需用不同的方法来求． 设平面曲线 C 由参数方程 ( ) ( ) x x t y y t （ t ）给出，设 0 1 { , , , } P n t t t 是[, ]的一个划分 [ 0 , n t t ] ， 即 0 1 n t t t ， 它 们 在 曲 线 C 上 所 对 应 的 点 为 0 0 0 M (x(t ), y(t )) ， 1 1 1 M (x(t ), y(t )) ，.， ( ( ), ( )) Mn n n x t y t ．从端点 M0 开始用线段一次连接这些分点 M0 ，M1 ，.，Mn 得到曲线的一条内接折线，用 Mi1Mi 来表示 Mi1Mi 的长度，则内接折线总长度为 2 2 1 1 1 1 1 [( ( ) ( )] [( ( ) ( )] n n n i i i i i i i i S M M x t x t y t y t 曲线 C 的弧长 S 定义为内接折线的总长在 max 0 i p t 时的极限：
((x(t,) - x(t-)]2+[(y()- y(t)]2S= lim ZM-M,= lim >Ip1->0p->0i=li=l如果S存在且为有限，则称C为可求长曲线，2、弧长公式[x=x(t)设曲线C：(α≤t≤β)，且x(t)，y(t)在[α,β]上可微且导数x(t)，y(t)在[α,β]上(y= y(t)可积，曲线C在[α，β]无自交点，则曲线C的弧长s为：S=["x(t)+ y"()dt= [yax* +dy2注：其它形式的弧长公式（1）设y=y(x)在[a,b)上可微且导数y(x)可积，则曲线y=y(x）（a≤x≤b）的弧长为：S=["yi+y(x)dx(2）若曲线极坐标方程r=r(0)，α≤≤β，则当r(の)在[α,β)上可微，且r(①)可积时，["r?+r"deS=[[x=x(t)（3）空间曲线y=y(t)(α≤t≤β),弧长s为[z = 2(t)S= /x"(t)+ y"2(t)+z"(t)dt其中x(t)，y(t)，z(t)在[α,β]上可微，导数x()，y()，=()在[α,β]上可积且曲线C在[α,β]上无自交点.例1、求圆周x=Rcost，y=Rsint，0≤t≤2元的弧长Sx222，0≤x≤1的弧长S.例3、求椭圆一例2、求抛物线y=1（b>a>0）的弧长Sa26223、弧长的微分[x=x()设C:（α≤t≤β）是光滑曲线（x()，y)在[α,β)连续且x()+()0）；且(y=y(t)无自交点。若把公式中的积分上限β改为t，就得到曲线C，由端点M。到动点M(x(t),y(t)的一段弧长S=x(t)+ y(t)dt115
115 2 2 1 1 1 0 0 1 1 lim lim [( ( ) ( )] [( ( ) ( )] n n i i i i i i p p i i S M M x t x t y t y t 如果 S 存在且为有限，则称 C 为可求长曲线． 2、弧长公式 设曲线 C： ( ) ( ) x x t y y t （ t ），且 x(t) ， y(t) 在[, ]上可微且导数 x(t) ， y(t)在[, ]上 可积，曲线 C 在[, ]无自交点，则曲线 C 的弧长 S 为： 2 2 2 2 S x (t) y (t)dt dx dy 注：其它形式的弧长公式 （1）设 y y(x) 在[a,b]上可微且导数 y(x) 可积，则曲线 y y(x) （a≤x≤b）的弧长 S 为： 1 ( ) b a S y x dx （2）若曲线极坐标方程 r r( ) ， ，则当 r( ) 在[, ]上可微，且 r( ) 可积时， 2 2 S r r d （3）空间曲线 ( ) ( ) ( ) x x t y y t z z t （ t ），弧长 S 为 2 2 2 S x (t) y (t) z (t)dt 其中 x(t)，y(t)，z(t)在[, ]上可微，导数 x(t) ， y(t)， z(t) 在[, ]上可积且曲线 C 在 [, ]上无 自交点． 例 1、求圆周 x R cost ， y Rsint ，0 t 2 的弧长 S． 例 2、求抛物线 1 2 2 y x ，0 x 1的弧长 S．例 3、求椭圆 2 2 2 2 1 x y a b （b>a>0）的弧长 S． 3、弧长的微分 设 C： ( ) ( ) x x t y y t （ t ）是光滑曲线（ x(t) ， y(t)在[, ]连续且 2 x (t) ＋ 2 y (t) 0 ）；且 无自交点．若把公式中的积分上限 改为 t，就得到曲线 C，由端点 M0 到动点 M (x(t), y(t)) 的一段弧长． 2 2 ( ) ( ) t S x t y t dt
ds(t)dxdh>ds=yax?+dy?.由上限函数的可微性知S(t)存在，dtdtWdts4旋转曲面的面积教学目的：理解微元法的基本思想和方法，掌握旋转曲面的面积计算公式教学要求：掌握求旋转曲面的面积的计算公式，包括求由参数方程定义的旋转曲面的面积：掌握平面曲线的曲率的计算公式，教学重点：旋转曲面面积的计算公式教学难点：由参数方程定义的旋转曲面的面积教学方法：系统讲授法十演示例题教学程序：一微元法用定积分计算几何中的面积，体积，弧长，物理中的功，引力等等的量，关键在于把所求量通过定积分表达出来．元素法就是寻找积分表达式的一种有效且常用的方法．它的大致步骤是这样的：设所求量U是一个与某变量(设为x)的变化区间[a,]有关的量，且关于区间[a,具有可加性。我们就设想把[a,]分成n个小区间，并把其中一个代表性的小区间记坐[，+da]，然后就寻求相应于这个小区间的部分量△U的近似值（做这一步的时候，经常画出示意图帮助思考），如果能够找到△U的形如(s）·d℃近似表达式（其中(a）为[a,b]上的一个连续函数在点x处的值，dc为小区间的长度)，那么就把(c)·dc称为量U的元素并记做du，即dU = f(x)dx以量U的元素作为被积表达式在[a,]上进行积分，就得到所求量U的积分表达式：f(x)dx例如求由两条曲线y=f(x)，y=f,(x）（其中fi,f,eC[a,b])及直线x=a,x=b所为成图形的面积A.容易看出面积元素DA=f(x)-f,(x)|dx于是得平面图形f(x)≤y≤f(x),a≤x≤b的面积为A=(lf(x)-f(x)/dx采用微元法应注意一下两点：116
116 由上限函数的可微性知 S(t) 存在， 2 2 2 2 dS(t) dx dy dS dx dy dt dt dt ． §4 旋转曲面的面积 教学目的：理解微元法的基本思想和方法，掌握旋转曲面的面积计算公式． 教学要求：掌握求旋转曲面的面积的计算公式，包括求由参数方程定义的旋转曲面的面积；掌握平面曲线的 曲率的计算公式． 教学重点：旋转曲面面积的计算公式． 教学难点：由参数方程定义的旋转曲面的面积． 教学方法：系统讲授法＋演示例题． 教学程序： 一 微元法 用定积分计算几何中的面积，体积，弧长，物理中的功，引力等等的量，关键在于把所求量通过定积分表达 出来. 元素法就是寻找积分表达式的一种有效且常用的方法. 它的大致步骤是这样的：设所求量 是一个与 某变量(设为 x)的变化区间 有关的量，且关于区间 具有可加性. 我们就设想把 分成 n 个小 区间，并把其中一个代表性的小区间记坐 ， 然后就寻求相应于这个小区间的部分量 的近似 值（做这一步的时候，经常画出示意图帮助思考），如果能够找到 的形如 近似表达式（其中 为 上的一个连续函数在点 x 处的值， 为小区间的长度),那么就把 称为量 的元素 并记做 ，即 dU f (x)dx 以量 的元素作为被积表达式在 上进行积分，就得到所求量 的积分表达式： b a f (x)dx 例如求由两条曲线 ( ), ( ) 1 2 y f x y f x (其中 , [ , ] 1 2 f f C a b )及直线 x a , x b 所为成图形的面 积 A.容易看出面积元素 DA | f (x) f (x) | dx 1 2 于是得平面图形 f (x) y f (x), a x b 1 2 的面积为 b a A | f (x) f (x) | dx 1 2 采用微元法应注意一下两点：
1所求量U关于分布区间[a,]具有代数可加性2) △U - f(x)Ax=o(4r)对于前面所讲过的平面图形的面积、立体体积、曲线弧长相应的微元分别为：ASyAxAV ~S(x)ArAs~/1+y2Ax二旋转体的侧面积设y=y(x)于[a,b)上非负，且连续可微，该曲线绕x轴旋转后所得的旋转面的侧面积：S=2元y/i+y"dx例1、计算圆x2+y?=R2在[x,x,]c[-R,R]上的弧段绕x轴旋转后所得的旋转面的侧面积,例2、计算由内摆线x=acost,y=asint绕x轴旋转后所得的旋转面的侧面积作业：P2551（2）（3)，3（2）85定积分在物理中的某些应用教学目的：熟练掌握微元法解决问题的思路和方法，了解其在物理上的应用。教学要求：掌握运用定积分计算液体压力、作功、静力矩与重心等物理问题的方法，并探求这些问题内在的和相互之间的联系，教学重点：微元法解决问题的思路和方法教学难点：在物理上的应用质量问题p(x)dx有一根不均匀的细棒，长为b-a，密度为P，则棒的质量为M=质心（重心）问题重心在计算不少实际问题中遇到，例如造船时就要考虑怎样来设计才使船的重心低一些。从最简单的两个质点的系统说起。设质点M，M2的质量分别为mt，m2，想像它们为一细杆所连接，这时若重心在点C，则C点用一物支起来，杆是平衡的。这不难理解。为计算重心，不妨把杆放在x轴上，设M，M2和C点坐标依次为*，2，c，在C点所用支起的力应等于作用在M，M2处的重力mg，m8的和mg+m2g。117
117 1）所求量 关于分布区间 具有代数可加性. 2） U f (x)x o(x) 对于前面所讲过的平面图形的面积、立体体积、曲线弧长相应的微元分别为： s y x V S x x S y x 2 1 ( ) | | 二 旋转体的侧面积 设 y＝y(x)于[a,b]上非负，且连续可微，该曲线绕 x 轴旋转后所得的旋转面的侧面积： 2 2 1 b a S y y dx 例 1、 计算圆 2 2 2 x y R 在[ , ] [ , ] x1 x2 R R 上的弧段绕 x 轴旋转后所得的旋转面的侧面积． 例 2、 计算由内摆线 x a t y a t 3 3 cos , sin 绕 x 轴旋转后所得的旋转面的侧面积． 作业：P255 1（2）（3）， 3（2） §5 定积分在物理中的某些应用 教学目的：熟练掌握微元法解决问题的思路和方法，了解其在物理上的应用。 教学要求：掌握运用定积分计算液体压力、作功、静力矩与重心等物理问题的方法，并探求这些问题内在的 和相互之间的联系． 教学重点：微元法解决问题的思路和方法 教学难点：在物理上的应用 质量问题 有一根不均匀的细棒，长为 b-a,密度为 ，则棒的质量为 M＝ ( ) b a x dx 质心（重心）问题 重心在计算不少实际问题中遇到，例如造船时就要考虑怎样来设计才使船的重心低一些。从最简单的两 个质点的系统说起。设质点 M1 ，M2 的质量分别为 m1 ，m2 ，想像它们为一细杆所连接，这时若重心在点 C， 则 C 点用一物支起来，杆是平衡的。这不难理解。为计算重心，不妨把杆放在 x 轴上，设 M1 ， M2 和 C 点 坐标依次为 1 x ， 2 x ， Cx ，在 C 点所用支起的力应等于作用在 M1 ，M2 处的重力 m1g ，m2 g 的和 m1g ＋ m2 g
xe=ma+mz因此它们为原点0的力矩之和应为0，即mgx+mgxz_(mg+mg)xc=0，所以m+m2如果不是两个原点，而是有限多个M，M，，M，质量分别为"，mz，，m，模坐标分别mx+m,x,+...+m,x.xcm+m,+..+m.为，，…，x则重心如果原点不是放在x轴上，而是在平面上，并设坐标为M,(x,J），原量分别为m，则该重心为(~c,Jc),有以下公式：mx,2my.i=li==:yc2m2ms下面将此概念加以推广，来计算一般平面曲线（弧）的原心：[x= x(t)设曲线方程为l=J)）（α≤≤β），x()，()存在且"()+"()0（设原心为均勾分布，即密度为常数P，这时重心由圆形的形状完全决定，所以均匀物体的质心也叫形心）。2npAs,Zs,pAs,=i=)XcycBoZa曲线|的重心坐标（c，Jc）有近似公式：Lyds,xds1JdsJ,ds记/p=max(As,As2,,As,)，则 p-0时具体地，如果曲线方程段为=(x)，（a≤x≤b)，"(x)在[a,b)连续，则此曲线段的质心坐标为[,xds,ydsyyi+ydxx/i+ydxsSs为曲线段的弧长。如果密度不是常数，而是x的连续函数P=p(x)，（α≤x≤b）其中那么完全类似地可得曲线段质心坐标为：[,xdm[,yp(x)ds,ydm,xp(x)dsp(x)dsm,p(x)dsmp(x)ds其中dm=p(x)dsm=为曲线段的质量。例：求以r为半径的半圆弧的形心。变力作功118
118 因此它们为原点 O 的力矩之和应为 0，即 m1g 1 x ＋ m2 g 2 x － 1 2 ( ) m C g m g x ＝0，所以 1 1 2 2 1 2 C m x m x x m m 如果不是两个原点，而是有限多个 M1 ， M2 ，.， Mn ，质量分别为 m1 ， m2 ，.， mn ，横坐标分别 为 1 x ， 2 x ，.， n x 则重心 1 1 2 2 1 2 n n C n m x m x m x x m m m 。 如果原点不是放在 X 轴上，而是在平面上，并设坐标为 ( , ) Mi i i x y ，原量分别为 mi ，则该重心为（ , C C x y ）， 有以下公式： 1 1 n i i i C n i i m x x m ， 1 1 n i i i C n i i m y y m 下面将此概念加以推广，来计算一般平面曲线（弧）的原心： 设曲线方程为 ( ) ( ) x x t y y t （ t ）， x(t) ， y(t) 存在且 2 2 x (t) y (t) 0 （设原心为均匀分布， 即密度为常数 ，这时重心由圆形的形状完全决定，所以均匀物体的质心也叫形心）。 曲线l 的重心坐标（ , C C x y ）有近似公式： 1 1 n i i i C n i i s x s ， 1 1 n i i i C n i i s y s 记 m 1 2 ax{ , , , }n p s s s ，则 p 0时， l l xds x ds ， l l yds y ds 。具体地，如果曲线方程段 为 y f (x) ，（ a x b ）， f (x) 在[a,b]连续，则此曲线段的质心坐标为 2 1 b l a xds x y dx x S S ， 2 1 b l a yds y y dx y S S 其中 2 1 b a S y dx 为曲线段的弧长。如果密度不是常数，而是 x 的连续函数 (x) ，（ a x b ） 那么完全类似地可得曲线段质心坐标为： ( ) ( ) l l l x x ds xdm x x ds m ， ( ) ( ) l l l y x ds ydm y x ds m 其中 dm (x)ds ， ( ) b a m x ds 为曲线段的质量。 例：求以 r 为半径的半圆弧的形心。 变力作功