东华大学：《理论力学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第02章 拉格朗日运动方程

3、虚功原理:系统平篠件∑F1。6;=0 物理意义:在理想约件下,体系离开平衡位 置的、符合约束的无限任何虚位移 期间,主动力所作的总功等于零 、达朗伯原理 牛顿第二定律:F1+R;=m1r 平衡条件:F+R1-mr1=0 总虚功为零:∑(F+R1-m1),6r=0 ∑ R:·δr:=0 ∑(-m1)8=0←达朗伯原理

期间，主动力所作的总虚功等于零。 置的、符合约束的无限小任何虚位移 物理意义：在理想约束条件下，体系离开平衡位 、虚功原理：系统平衡条 件 3 Fi  ri = 0   (F m r ) r 0 R r 0 : (F R m r ) r 0 : F R m r 0 F R m r i i i i i i i i i i i i i i i i i i i 达朗伯原理 总虚功为零 平衡条件 牛顿第二定律： 三、达朗伯原理  −   =    = + −   =  + − = + =                       

例如:均匀杆OA,重P,长为l1,O 能在竖直平面内绕固定较交链O转 C(x1,y1) 动。此杆的A端,用铰链连另一 重P2、长为l2的均匀杆AB。在 P入8D(x2y2) AB杆的B端加一水平力F。求平x B(x3,33) 衡时此二杆与水平线成成的角度a及β。 解:体系为理想约束,系统自由度为2个, 选取α、β 虚功原理 ∑F1·8F=P1·8+P28F+F·6F P,Sx, +P δx +Fδ 0(1)

衡时此二杆与水平线所成的角度 及 。 杆 的 端加一水平力 。求平 重 、长为 的均匀杆 。 在 动。此杆的 端，用铰链连另一 能在竖直平面内绕固定铰 链 转 例如：均匀杆 ， 重 ，长为 ， AB B F P l AB A O OA P l 2 2 1 1   P x P x F y 0 (1) F r P r P r F r 2 1 1 2 2 3 i i 1 C 2 D B =  +  +  =   =   +   +              虚功原理 选 取 、 。 解：体系为理想约束，系统自由度为 个 ， A O x y D(x2 ,y2 ) B (x3 ,y3 ) F C(x1 ,y1 ) P1 P2 β α

∑F·δ6r;=Pδx1+P28x2+F6y3=0(1) 几何X=(41/2)ma 关系 Rx2=I,sina+(2/2) inB o Na 3=1 coS a+l, cos C(x12y1) 8x,=(1/2)cosa Sa P D(X2, y2) 8x2=l1Cosa8a+(l2/2)cosβ8β F P. B(X3,y3) 8y3=-l1sina8c-l2sinβ8β X 上式代入(1)得: [(P / 2)cos a+P2 cos a-Fl sin a 8a +(P2l2/2)cosβ-Fl2sinβ]6β=0 P,+2P P ga 2F 2F

[(P l / 2)cos Fl sin ] 0 [(P l / 2)cos P l cos Fl sin ] (1) : y l sin l sin x l cos (l / 2)cos x (l / 2)cos y l cos l cos x l sin (l / 2)sin x (l / 2)sin : F r P x P x F y 0 (1) 2 2 2 1 1 2 1 1 3 1 2 2 1 2 1 1 3 1 2 2 1 2 1 1 i i 1 1 2 2 3 +  −   =  +  −          = −   −     =   +     =         =  +  =  +  =     =  +  +  = 上式代入 得 关 系 几 何   2F P , tg 2F P 2P tg 1 2 2  = +  = A O x y D(x2 ,y2 ) B (x3 ,y3 ) F C(x1 ,y1 ) P1 P2 β α

§2.3完整约束拉格朗日方程 质点位矢:r;=r(q1,q2,q3,…qn,t)i=1,2,3,…n, 广义坐标:s=3n-k O ar. ar 6r: 辅助 ∑ 8q1,v1=r=∑ q do q, ot 公式, ∑6=∑∑听8=EQ6q 广义力:Q1=∑F0广义速度:q)

, : q ) q r ( : Q F q Q q q r F r F q r q v t r q q r q , v r q r r : : s 3n k. : r r (q ,q ,q , q ,t) i 1,2,3, n, j i j i j i s j j j j i j j i i i i i j i j i j j i j j i j i i j i i i i 1 2 3 n                       广义力 广义速度 公 式 辅 助 广义坐标 质点位矢         =   =     =           =     +    = =    = = − = = §2. 3 完整约束拉格朗日方程

δ ∑ q 轴助公式:{5,==2014+ or aqi aqi ∑Q r Q;8q;= ∑F;8=∑m·8=∑∑mr q q or d d O :ri og; dt d q d d O q

j i i j i i j i i j i i j i i j i j j i i i i i i i i i i s j j j j i j i j i j j i i i j j j i i q v v q v v dt d q r dt d r q r r dt d q r r q q r Q q F r m r r m r q r q v t r q q r v r q q r r :   −            =            −            =         =   =   =             =     +   = =     =                                         辅助公式