6、2曲面上的测地线一、定义：曲面上的一条曲线，如果它的每一点处的测地曲率为0，则称为测地线二、性质1）如果曲面上有直线，则必为测地线2）命题3：曲面上非直线的曲线是测地线的充要条件是，除了曲率为0的点外，曲线的主法线重合于曲面的法线。证明：设曲线（c）为测地线（不是直线），则k≠0,k。=0但 kg=±ksin,=Z(β,n)→=0 或 即β=土n，所以主法线重合于法线。反之，若主法线重合于法线，则β=土π，得θ=0或兀kg=±ksin 0=O,(k ≠O)所以曲线是测地线
6、2 曲面上的测地线 一、定义：曲面上的一条曲线，如果它的每一点处的测地曲率 为 0，则称为测地线。 二、性质1）如果曲面上有直线，则必为测地线。 2）命题3：曲面上非直线的曲线是测地线的充要条件是，除 了曲率为 0 的点外，曲线的主法线重合于曲面的法线。 证明：设曲线（c）为测地线（不是直线），则 但 即 ，所以主法线重合于法线。 反之，若主法线重合于法线，则 ，得 所以曲线是测地线。 0, = 0, g k k kg = k sin , = (,n) =0 或 n = n = =0 或 k = k sin 0 = 0, (k 0) g
推论：如果两曲面沿一曲线相切，并且此曲线是其中一个曲面的测地线，则它也是另一个曲面的测地线证明：因为这两个曲面沿曲线相切，所以曲面沿曲线的法线重合，又此曲线的主法线只有一条，所以此曲线的主法线同时与两个曲面沿此曲线的法线重合，由命题知推论成立例：球面上的大园一定是测地线，因为大园的主法线重合于法线
推论：如果两曲面沿一曲线相切，并且此曲线是其中一个曲 面的测地线，则它也是另一个曲面的测地线。 证明：因为这两个曲面沿曲线相切，所以曲面沿曲线的法线 重合，又此曲线的主法线只有一条，所以此曲线的主法 线同时与两个曲面沿此曲线的法线重合，由命题知推论成立。 例：球面上的大园一定是测地线，因为大园的主法线 重合于 法线