《微分几何》课程教学资源（PPT课件）第二章 曲面论 2.6 曲面上的测地线

(, =Zrr +Ln)三、测地曲率的计算公式Kk。=k(α,β,n) =(α,kβ,n)=(r,r,n)du?duldu'dvdudu7-ZZ一rY+r2r+dsdsdsdsdsdsik22duidujdujdu'd0uu=2ZWf+1+ii订2dsdsdsdsdsdsjikii,jAdujduduiduiauZZnX+2dsdsdsdsdski,jAdujduidududuiauZiZk公k+S+n,n)2kids?gdsdsdsdsdsK1i,ji,jdujdudui2uZ)2,n)r+i2dsdsdsdsi.jdu??uldujduiZ)i,n)中2ids?dsdsdsi,j

三、测地曲率的计算公式 k k( , ,n) ( ,k ,n) (r,r,n) g            =   =   = = + = + = = i i i i i u v i r ds du ds du r ds du r ds du r ds dv r ds du r r         2 2 1 1 n ds du ds du r L ds du ds du ds d u r ds d u r ds du ds du r ds d u r ds du ds du r i j i j k i j k k i j j i j k i k k k i j j i j i i i i i i j j i j                 = +  + =  + = + , , 2 2 2 2 , 2 2 ( ) = + k k ij k (rij ijr L n)    ( ,( ) , ) ( ,( ) , ) ( , ( ) , ) 1 , 1 2 2 1 2 2 2 , 2 2 2 2 1 1 , , 2 2 r n ds du ds du ds d u r ds du r n ds du ds du ds d u r ds du n n ds du ds du r L ds du ds du ds d u r ds du k i j i j i j i j i j i j i j i j k i j k k i j j i j k i i i i g                 + +  = +  = +  +

22dududuiu2Z+)r,n)ids200dsdsdsi,jdu?duiduj2Zn7dsdsdsdsi.duduiduu>k11ds2gdsdsdsij22dudududuZ)(i,r,n)dsdsdsdsi,j1rxr(2.2-(.2))(r,r,n)=(×VgVg(EG-F2)=/gvg'u?duiduLydudududu'0Z1k.++Y5jds?ds2dsdsdsdsdsdsi,ji,j

(( ) , , ) ( ,( ) , ) 2 2 1 , 1 2 2 1 2 , 2 2 2 2 1 1 r n ds du r ds du ds du ds d u r n ds du ds du ds d u r ds du k i j i j i j i j i j g i j         − +  = +  ( ( )]( , , ) [( ( ) 1 2 , 1 2 2 2 1 , 2 2 1 2 2 r r n ds du ds du ds d u ds du ds du ds du ds d u ds du k i j i j i j i j i j g i j      − +  = +  [( ( ) ( ( )] , 1 2 2 2 1 , 2 2 1 2 2 ds du ds du ds d u ds du ds du ds du ds d u ds du k g i j i j i j i j i j g = +i j − + EG F g g r r r r g g r r r r n r r = − = =  −   =   ( ) 1 ( ( ) ) 1 ( , , ) ( ) 2 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2           

!'u?dujduid'uduidududud2ZIZI1/g[k.=1+十i2ds?ds?dsdsdsdsdsdsi,ji,j这就是测地曲率的一般计算公式。特别地，当曲面上的坐标网为正交网时，F=0，代入上式并整理得dv d'uEdu dyGdyduduXdsds ds?ds ds?2GGdsdsEudvE,CG.dudududvdya1dsE2G ds2Eds2Edsdsdsds

特别地，当曲面上的坐标网为正交网时，F=0，代入上式并 整理得 ( ) ] 2 ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( ) 2 [ 2 2 2 3 3 2 2 2 2 2 ds dv E G ds dv ds du E E ds dv ds du E E ds dv ds du G G ds dv ds du G G ds du G E ds d u ds dv ds d v ds du k g v u v u v u g + − − + = − − + [( ( ) ( ( )] , 1 2 2 2 1 , 2 2 1 2 2 ds du ds du ds d u ds du ds du ds du ds d u ds du k g i j i j i j i j i j g = +i j − + 这就是测地曲率的一般计算公式

下面给出一个简单一点的形式。设曲线的切方向与u-线所成的rTdudvdr角为θ，则αsneCOSHVGdsdsVEds11dudvsin 0.cosaVGdsVEdscosOcosacos 0ddd2udedvduEEEds?dsdedsdudsdyv3311sin dedudv2EEEE+cose+cos6VEdsds2ds2sin 0 deE, cos duE, cosO dvVEdsds2EVEds2EVEd2uE, cos? sin 0 deE. sin 0cos0ds?2E2VEds2EVEG

下面给出一个简单一点的形式。设曲线的切方向与u-线所成的 角为  ，则 ds dv r ds du r G r E r ds dr u v u v       = = cos + sin  = + sin , 1 cos , 1   ds G dv ds E du = = ds dv E E E ds du E E E ds d E ds dv E E ds du E E ds d E ds dv dv E d ds du du E d ds d d E d ds d u u v u v 2 cos 2 sin cos ) 2 1 ) cos ( 2 1 cos ( sin ) cos ) ( cos ) ( cos ( 2 3 2 3 2 2              = − − − = − +  − +  − = + + − − E EG E E E ds d ds E d u u v 2 sin cos 2 sin cos 2 2 2 2       = − − −

d?yG, sin ? cos deG, sin 0cos0同理ds?2G2VGds2GVEG代入前面的k。的计算公式可得E,Gdeksin 0cOsAgds2EVG2GVEde11aln EalnGcos-sin ,2VGOv2VEdsou这个公式称为刘维尔(liouville)公式。也可写为dek.+k。 cos0+k.sin0ds其中kgu，kg、分别为u线和v线的测地曲率。事实上，对于u线和v线来说，分别有θ=0知00。，代入测地曲率的计算公式有anE1 1 alnGk.=k.2/GOv812/EOu

同理 2 2 2 2 2 sin 2 cos sin cos G G G EG G ds d ds G d v   u   v  = − − 代入前面的 kg 的计算公式可得 sin , ln 2 1 cos ln 2 1 sin 2 cos 2       u G v E E ds G d G E G E G E ds d k v u g   +   = − = − + 这个公式称为刘维尔(liouville)公式。也可写为 cos sin ,  g gu gv k k ds d k = + + 其中 分别为 u 线和 v 线的测地曲率。事实上，对于u 线和 v 线来说，分别有 ，代入测地曲率的计算公式 有 gu gv k , k 0  = 0和90 . ln 2 1 u G E kgv   , = ln 2 1 v E G kgu   = −