函数关系的近代概念是在许多大数学家参与下形成的 几乎与上节开始时引入的函数概念完全一致的描述,在译成 俄文的拉克鲁阿④(1806年)的数学教科书中已经见到.罗巴切夫 斯基②是这一函数概念的积极拥护者.罗巴切夫斯基还指出 (1834年),“从一般理论的观点看,存在一个依赖关系,就是一些数 与另一些数一起被给定的关系”⑧,而这正是我们现在要讲的精确 定义的函数概念的思想 本节开始所引进的函数概念的描述,有很大的概括性,并反映 了事物的本质,然而从现代观点来看,还不能说是一个定义,因为 它利用了与函数等价的概念:对应,在这里,我们向读者介绍怎样 用集合论语言给出函数定义 关系由序对(x,y)组成的任何集,叫做一个关系 构成绨的序对之第一个元素组成的集X叫做关系的定义 域,而这些序对的第二个元素组成的集￥叫做关系的值域 因此,可把关系第解释成直积XXY的子集.如果 XcX,且∈Y,显然 cXxY∈X×Y 所以同一个关系可作为不同集的子集给出来 含有某关系的定义域的任何集,叫做这个关系的出发域,而含 有其值域的集叫做它的到达域 常常把(x,3)∈写成z3y,并说x与y用关系默 系着. ① Lacroix(1765-1843)—法国数学家与教师(师范与综合技术学校教授, 巴黎科学院院士) ②HH.0 aeCk(1792-1856)—伟大的饿罗斯学者他与伟大的德意志 自然科学家高斯(K, Gauss1?77-1855)以及卓越的匈牙利教学家鮑耶( Bolyai) 1802-1860)都是以他的名字命名的非歇几何的发现者, ③罗巴切夫斯基仝巢—M.-:oex3a,195]年版第番第44真, 22·
如果Cx,就说关系在X上给定 现在看几个例子 创13对角线 A=(a,b)∈X2|a=b 是X2的一个子集,它给出集X中元素的相等关系,事实上,aAb 表示(a,b)∈Δ,即a=b 例14设X是平面上的直线构成的集, 两条直线a∈X,b∈X被认为由关系联系着,写成a,假 如直线b平行于直线a,显然,对(a,b)的集合是从X2中用 ab分出来的集.由儿何教科书得知,直线间的平行关系具有下 列性质: (反身性) (ab)=>(b死a) (对称性); (a3b∧(bc)=→>(a.c)(传递性). 具有上面三条性质,即反身性⑩,对称性与传递性的任何关系 ,都叫等价关系,等价关系用专用的符号~表示,于是,这个符 号就代替了表示关系的字母.这样,在等价关系的情形,我们 写a~b以代替ab,并说a与b等价 例15设M是一个集合,而X=5(M)是它的一切子集的 全体,对于集X=5(M)的任意两个元素a与b,即M的任意两 个子集a与b,下面三种可能有一种且仅有一种被满足:a包含在 b中;b包含在a中;a不是b的子集且b也不是a的子集,我们 把x的子集间的包含关系作为X2中的关系,即按定义令 a9eb:=(acb 这个关系显然具有下述性质: ①为完整起见,我们指出关系叫做有反身性,假如它的定义域与值域一致, 井且对于9的定义域中的每个元素a,有a成立 23
a (反身性); (ab)∧(c)=→(ac)(传递性); (ab)∧仂ba)→>a△b,即a=b(反对称性) 个集x的元素对之间的关系,如果具有上面所指出的三条 性质,习惯上称它是集x上的一个偏序关系,我们经常用记法 a≤b来表示偏序关系以代替记法ab,并说b在a之后, 如果除了确定偏序关系的三条性质之外,还满足条件: 4,Yb((a卿b∨V(a) 郎集X中的任二元素能比较,就把关系叫做序关系;而把定义 了序关系的集X叫做线性序集 这一名称的产生,与数轴的直观形象有关;因为在实数轴上, 对于任何一对实数都能讨论关系a≤b b.函数与函数的图象如果 (x2y1)∧(xy)=>(y1= 就说关系是一个函数关系 函数关系叫做函数 特别地,设X与Y是两个(不一定不同的)集合,CXXY是 定义在X上的,集合x的元素x与集合Y的元素y间的一个关系 如果对于每个x∈x,恰好只有一个y￥使得x与y满足上面的 关系,即x那么,兇就是一个函数关系 这样的函数关系c(X×Y)是X到Y中的映射,或X到Y 中的函数 我们常用符号∫来记函数.如果f是函数,我们将像从前 样书写y=f(x)或而不用xy,并把y=f(x)叫做函数∫ 在元素x上的值,或元素G在映射f下的象 对照最初描述函数概念的说法,我们看到,按照“规律”f把元
素xx“对应”于元素yY就是对每个X,指出了唯一的vY, 使x,即(x,3∈f∈X×Y, 设厂是直积X×Y的子集,它由一切形如(x,f(x))的元素组 成,因而 F:={(x,3)∈x×Y|y-f(x)} 我们称这个子集厂是在原来意义下函数f:X×Y的图象 在我们把函数作为子集fCX×Y这种新的叙述下,函数与它 的图象当然已经没有区别了 我们原则上指出了,形式地建立函数的集合论定义,导致了函 数与其图象等同,然而我们并不打算今后只限于用这种形式给出 函数.很明显(当然我们也接触过这些情况),为了给出函数关系 有时用解析式方便,有时用函数值表方使,也有时用运算过程(算 法)的语言描述更方便,根据这种描述,对于给定的买X可以找 出相应的Y.无论用上面哪种方式给出函数,利用其图象给出 函数,即作函数图象的问题都是有意义的.用很精致的图象来给 出数值函数的益处是,它能直观地表现出函数依赖关系的基本特 征.函数的图象(诺谟图),也可以用十计算,但通常只是在要求不 十分精确时才用到,精确讦算时要用函数值表,它常常是借助于 算法在计算机上实现的 练习 用下列方式来定义两个关系1,兇2的复合92°91 291:={(,2)|3y(x91y)A(y2)} 特别地,当1∈×Y,2CY×2时,=2°现1CX×Z并且 x比:=彐y(yY)A(x13)A(y2z) a.设4x是集合X2的对角线,4y是集合y2的对角线.试证,如果关系 统1CX×y与2CYXX满足 4x)A(251=△y) 25
那么,它们都是函数,并且给出了集合x,￥同的互逆映射. b.设Ⅹ.试证:关系吼的传递性条件等价于究C c.如果(x)→(x9y),就说关系'CY×X是Cx×Y的转置 关系 试证,关系CX2的反对称性等价于条件9∩△x d.骑证集合X的任意二元素由关系绣cX相联系(按这种或那种次 序),当且仅当纲U凭’灬X2 2.设f:X→Y是映射.元素yY的原象f(y)∈X叫做y上的层 指出映射 pr:xt×X2->X1,pr2:X1XX2→X2 的层是什么 b.设x1∈xz2X,如果∫(x1)=f(x2),即如果x1与x2位子同一个层 中,就认为x1∈X与x2X由关系CX2相联系,并且写成xx 验证是等价关系 c.试证映射f:x→F的层不交,而层的并是整个集X d.验证集合的元素间的任何等价关系,可将该集表成互不相交的等价 元素类的并的形式 3.设f:x→Y是X到Y中的映射.试证,如果A与B都是X的子集 那么 a.(AcB)=→>(f(4)cf(B)÷>(AcB) b.(A≠必)=>(f(4)≠必) c.f(A∩B)Cf(4)∩f(B) d. f(AUB)-f(A)Uf(B) 如果A'与B都是Y的子集,那么 e .(ACB)->f-I(A')Cf-(B). f.fA"∩B)=f(A)∩f(B'). 8-f(AUB)=f-I(A)US-I(B) 如果Y→AB,那么 h.f1(4\B")=f(A')Vf(B). i. f-I(C A)=C-I(A') 对任何集AcX及任何集BcY j.∫(f(A)=A. 26·