k f(1(BCB 4.试证映射∫:X>Y是 a,满射,当且仅当对任何BcY有f(f-(B')=B b.双射,当且仅当对任何ACX及任何B'cY有 (f-1((A))=A)V(f-1(B))=B). 5.检验关于映射f:x→Y的诸命题的等价性 a.f是内射 b.f1f(4)=A,Acx为任意集合, c.对X的任意两个子集A,B,有∫(nB)=f(A)∩f(B) d.(A∩f(B=%<→A∩B=. e.当X2AB时,有f(A\B)=f(4)f(B), 6.a.如果映射f:X→Y与g:Y→>X能使g∫=ex,这里ex是集X的恒 等峡射,则称g是f的逆映射,而称∫是g的右逆映射、试证,可能存在许 多单边逆映射;这是与映射的唯一性不同的 例如,考虑序列的映射 (x1,…xn…)(a,x1,…,zn,…) (y2,…,3n…)2(31,32,…,孙n,…) b.设∫:X→Y与g:Y→Z都是双射.试证,映射gf:X→Z是双射,并 且(gf)-1=fg c.试证,对任何映射f:X→Y,g:Y→z,及任何集合C∈Z,集合间的 等式 (gf)-()=f-(g(C) 成立 d.验证由(x,3)}→>(y,x)给出的映射F:X×Y→Y×X是双射,描 述互逆映射f:XY与f:￥>X之问的图象的相互联系, 7.a.试证对任何映射f:XY来说,由对应x-;(x,f(x)所确定 的映射F:X一>×F是内射, b.设质点在圆周Y上作匀速运动;X是时问轴而xy是瞬时X与 质点位置y=∫(a)∈Y间的对应关系.绘出函数f:X一Y在X×Y中的图 象 8.a.对§3中所选的例题1-12,说叨其中的映射是不是映射,单射
双射,或者不是芙中任何一种 b.欧姆定律I=V/B把导线上的电流强度l,导线两端间的电压驴及 导线的电阻B联系起来.试问,怎样射集合同的映射O:XY对应于欧姆 定律怎样的集合的子集对应着欧婿定律的关系 试求伽利路变换与罗伦兹变换射逆变换G1,D1 9.a.设有集合8CX及映射∮X一→X,如果f(S)C8,则称S关 于∫是稳定的.写出关于平面沿共上一向量的平移为稳定的集 b.设集【∈x,映射∫:X—→X,如果f(=,则称【关于f悬不变 的,写出关于平面绕一个定点旋转不变的集 c.点P叫做映射fx一>X的不动点,如果f(p)=p试证平面上的 平移、旋转与位似的任意复合,当位似系数小于1时,有不动点, d.把伽利略变换及罗伦兹变换看做映平面到自身上的映射,它将坐标 为(#)的点变到坐标为(x,)的点.试求这些变换的不变集 10.考察液体的稳泷动(即每个点的流速不随时间变化),在时间t内, 位于点z处的质点变到了空闻某一新位置f(x).这样产生的由流体占据的 空同的点的映射xh→f4(x)与时间有关,称之为时间t内的变换.试证 f1f;=f4°4=f4+12和f:=f=er §4.某些补充 1.集的势(基数)设Ⅹ,Y为二集合.如果存在X到F上的双 射,即对每个,有y∈Y与之对应,x中不同的元,在Y中所对 应的元也不同,并且每个y∈Y,必是X中某元的对应元,则称X与 Y等势 通俗地说,就是每个元x∈X坐在自己的位子∈Y上,X的所 有元都坐着,而且没有闲置的位子y∈Y. 显然,所引人的关系XOY是等价关系按照约定,我们在这 种情况把X彡￥写成X~Y 等价关系把所有集合所成的族分成了彼此等价的集合的类 同一个等价类中的集,有相数量的元素(等势),不同类中的集合 28
所含元素数量不同 集X所在的类叫集X的势,或叫集x的基数,并记作 card.如果x~Y,就写成 cardO= cardY 这种结构的意义在于它使我们能够比较集合的元素的数量, 而不使用数数这个中间步骤,即不必用与自然数列N={1,2, 3,…}对照的方法确定数量;很快我们就会看到这后一种方法,有 时根本不能用。 如果集合Ⅹ与集合Y的某个子集竽势,我们就说X的基数 不大于X的基数,并记作 card≤ cardy. 因此, (cardXscardy):==GZCYcardX-cardz) 如果XCY,则显然 cardO≤cadY,然而关系XcY却不 妨碍有不等式 cardY≤ card,即便x是Y的真子集,也是如此 例如,对应x→1-|x是数轴R的开区间-1<z<1到整 个数轴本身的双射 集合能与其自己的部分等势,是这个集合为无穷集的特征 标志,戴德金①甚至曾建议把它作为无穷集的定义,这样,一个集 合(按照戴德金的说法),只有当它不与自己的任何真子集等势时 叫做有穷集,不然就叫无穷集 就像不等关系把数轴上的实数有序化一样,这里引进的不等 关系也把集合的势或基数有序化.这就是说,所建立的关系有下 列性质 1. card≤ cardY)∧( cardY≤ cardZ) ① Dedekind(1831-1916)—德国数学家,他积极参与了发展实数理论的工 作,首先提出自然數集的公理化的问题.稍后,意大利数学家皮雅诺( Peano)(185 1932)建立了这套公理,通常都以他的名字命名 29
=→>( card≤ cardz) (显然) 2( card≤ cardp)∧( cardY≤ card (card=cardy (施略德-伯恩斯坦⑩定理.) 3.Vx,WY( cardO≤ cardp)∨( cardY≤ cardO)(康托尔 定理 因此,基数类是有线性序的 如果 card≤ardY,同时 card X≠ cardY,就说集X的势小 于集￥的势,并记作 card<cadY.于是, card< cardy):=( card≤ cardY)∧( card≠ cardy) 像前面一样,用必记空集,而用多(X)记x的一切子集构成 的集.康托尔发现有以下的 定理 card<card5(x 对于空集￠来说,上述结论显然成立,所以以下可认为 x≠ 因为5(X)含有X的一切单元素子集,所以 card≤card5(x) 现在只需证明,当X≠必时, card≠card多(x) 如果不如此,假定f:X→5(X)是双射.考察由那样一些元 素x∈X:x不含于它所对应的集f(x)∈(X),所组成的集A x∈X|xf(x)},因为A∈5(X),所以必能找到一个元素a∈X, 使得f(a)=A这个元索a∈X既不能有a∈A(据A的定义),也不 能有aeA(还是根据A的定义).这与排中律矛盾 特别地,这个定理说明,如果无穷集存在,那么,“无穷”必是各 ①F. Bernstein(1878-195)—德国数学家,康托尔的学生;3.Ⅲpep (1841-1902)—德国数学家
种各样的 2,集合的公理理论本段目的是为有兴趣的读者提供描述数学对象 集合一的性质的公理系统,并证明这些公理的一些简单推论 1°容积公理.集合4与集合B相等,当且仅当们有共同的元素 这就是说,我们井不去管对象“集合”的一切其它性质,只注意它的元素 有哪些就行了.在实际应用时就是,如果要验证A=B,只需要验证 Vx((xA)<>(z∈B) 2°分出公理.对任何集合A及性质P有这样的集B,它所含的元素, 是且仅是A中的那些具有性质P的元素 简短地说,如果A是一个集合,那么,可以断定 B=tEA P(a)] 也是一个集合 从一个集合分出另一个具有这种或那种性质的子集,以便作出数学结构 时经常要用到这个公理 例如,由分出公理推知任何集合X有空子集 0x={x∈X!x≠} 再注意到容积公理就知道,对于任意集合x与Y,有必x=r,即空集是唯 的,用符号表示空集, 由分出公理还推知如果A,B都是集合,那么AB={∈A|xB}也是集 合.特别当M是…一个集合而A是它的子集时,C≌A也是个集合 3°并公理对于由集合构成的任何集合M2存在集合UM称为集合M 的并,它的元素恰好是M中所含元素的元素 如果把“集合的集合”换成说“集合的族”,那么,并公理就获得了更加习 惯的说法:存在着由族中诸集合的元繁组成的集合。这样集合的并仍是 个集合,并且 z∈UM←→3x((xeM)A(x∈x) 并公理再加上分出公理,就能把(集族)酵的交定义成是一个集 ∩M:={z∈UM|x((XeM)→>(x∈X))} 是°对公理对于任意集仓X与Y存在二个集合2,使X与Y是它仅有 的元素 集合2用x,}表示,井称之为集合X与y的无庄对如果X=y,那 么集合只有一个元素 31