在质点运动的每一瞬间,它位于空间R的坐标为x(),3(), z())的某点处.于是质点的运动可以解释为映射γ:RR,这 里R是时间轴,而R3是三维空间. 如果一个系统是由n个质点组成,那么它的形状由各质点的 位置所确定即由3n个数的序组 (x1,31,z13z,y2,223…xn,3nzn 确定,所有这些序组的集合,叫做质点系的构形室间.因此,n质 点系的构形空间可以解释为"个R3空间的直积 R3×R ×R3=R 由时间轴到质点系的构形空间的映射y:R→R3m对应于描述 n质点系的运动 例11力学系统的势能U与其质点的分布有关,即与它的构 形有关.设Q是力学系统的实际可能的构形的集合.这是系统的 构形空间的某个子集.每个分布9Q对应着系统势能的→个值 U(q),因此,势能是定义在构形空间射子集Q上而在实数域R取 值的一个函数U:Q→>R 例12n质点系的动能K与它们的速度有关,因此,质点系 的全部机械能E=K+U即动能与势能之和,它既与质点系的构 形有关,又与诸质点的速度组0有关像质点系在空间的构形q 样由n个三维向量构成的速度组v,也能用3个数的序组给出 与我们的质点组的状态所对应的序对(q,v)构成直积空间R3 R3=R中的一个子集φ,阻做a质点系的相空间(它与R3 中的构形空间是不同的) 因此,系统的总能量是定义在相空间R°的子集φ上,而在实 数城R中取值的函数E:φ>R 特别地,当系统是封闭系统,即没有任何外力作用于它时,根 据能量守恒定律,函数E在系统状态集φ的所有点上有同样的值
B∈武 2.映射的筒单分类当把函数f:X→>￥叫做映射时,它在 元素c∈X上取的值f(x)∈Y,通常称为元素x的象, 设AcX,则把A中各点x的象(在Y中)所组成的集 f(4):={3∈￥|3x((x∈A∧(gy∈f(x)} 叫儆A的象集 设集BcY,则把Ⅹ中其象属 于B的那些元素的集 f(B):={x∈Kf(x)∈B r00 叫做B的原象集或全原象集(图 6) 关于映射fx>Y; 图 如果f(X)=Y,就说∫是满射(或X到Y上的映射); 如果对X中的任何元素x1x2,有 (f(x)=f(x2)x→>(x1=g2), 即不同元素有不同的象就说f是单射(或嵌入,内射); 如果∫既是满射又是单射,就说∫是双射(或一一映射) 如果映射∫:x→>Y是双射,即是集合星与集合Y间的一一对 应,那么,自然可以用下面的方法 若絀→g则y◆z, 做出一个映射 f-1:Y→X 即只有当x在f下的象为3时,我们才让x与y对应.由f的满 射性,这样的x∈X存在;∫的内射性,它又是唯一的,因此,映 射∫完全确定,这个映射叫做已知映射f的逆映射 由逆映射的做法看到,f1:Y→X本身也是双射,并且它的逆
映射(f):x→￥与f:x→Y一致 因此,两个映射是逆映射的性质是相互的,即如果f是∫的 逆映射,反过来,∫也是f1的逆映射 我们注意到,集BCY的原象的符号f1(B)与反函数的记号 f-1有联系然而,应该看到,集合的原象是对任何映射∫:x->Y都 有定义的;即使它不是双射,从而没有逆,也可以有原象 3.函数的复合与互逆映射函数的复合运算,一方面是产生 新函数的丰富源泉,另一方面又是将复杂函数分解成比较简单的 函数的一种方法 若有二映射∫:XY与9:Y→2,且g定义在∫的值域上,则 可用公式 (gof)(x):=9(f(x) 确定Ⅹ上的新映射 g°f:x→>z 所建立的这个映射g叫儆映射f与映射g(按这种顺序) 的复合 图7具体给出映射∫与g复合的结构 y·间 图7 我们已经不止一次地遇到映射的复合,比如在几何中曾讨论 了平面运动或空间运动的复合,而在代数中则用最简单的初等函 数复合而得到复杂的函数 19
复合运算有吋要连续施行若干次,因而,注兹到它满足结合 律,即 h(yf)=(h°g)°f 是有好处的 √实际上, (ho(9f))(x)-k((gf)(x))…瓦(g(f(x)) (hog)(f(r)=((hog)of)(=).k 因此,正象几个数的加法与乘法那样,可以去掉表明运算次序 的括号, 如果复合∫……1中所有的项都等于∫那么就把它表成印, 大家都知道,例如,正数a的平方根,可以按照公式 In+=6(,+ 用逐次通近法从任意的第一近似值x>0开始进行计算.这恰好 就是狂计算P(),这里fx)=2(x+2)这种把第一步得到 的函数值,作为下…步的自变量值的计算方法叫做叠代法.在数 学中,叠代法用处很广 我们还注意到,即使两种复合g与f°g都有定义,一般来 说,它们也是不相等的 9f≠f°g 实际上,例如取二元集{a,b},及映射 f: a, b g: t 这时,显然gf:{a,b}≯b,而∮og:{a,b}→a 如果映射:X→X把X的每个元映成自身即x》x,那么 就把∫记作ex并称之为集x的恒等映射 引理
(gf)=ex=>(9是满射)A(f是单射) ←实陈上,如果f:X→Y;g:￥→x,且gf=ex:X→X,那么 X=er(X)=(gof)(r)=g(f(r))cg(r), 也就是说9是满射 此外,如果x∈x,x2∈x,则 (x1≠22)=>(ex(x1)≠ex(x2)=>((gf)(x1)≠(gof)(x2)) →(9(f(x1))≠g(f(x2)=>(f(x1)≠f(x2) 因此,f是单射, 互逆的映射可以用映射的复合来描述 命题秧射f:x→Y,g:Y→>X是互逆的双射当且仅当g∫ ex且f°g=er. ←据引理,条件gf=ex与f°g=er同时成立.这就保证了 映射∫,的满射性与单射性,也就是说,它们都是双射 这两个条件又说明y=f(x)当且仅当x=g(y)p 以上我们用明确构造的方式建立了逆映射.已证明的这个命 题,使我们能给互逆的映射一个虽不太直观,然而更对称的定义: 映射f9互为逆映射,假如它们满足两个条件 g∫=6x,fg=er (參看本节末的习题6) 4.作为关系的函数,函数的图象最后,我们再回到函数的 概念上来.我们看到,它的演变是长期而相当复杂的 “函数”这个词首见于1692年菜布尼兹的著作(诚然,是在较 秋容的意义下)直到1698年,J贝努利即大贝努利①给莱布尼 益的信中,才在比较接近近代意义下使用这一术语. ①J. Bernoulli(1667-1748)——著名的瑞士 Bernoulli学者家族的早期代表 者之一,他是分析学家,几何学家,力学家他创立了变分学,对微分积分计算给出了第 一个系统的阐述