b.( CA)A(CCB)<>0c(4∩B) C. CK(CrA)=A d. (ACCkB)<>(BCCyA) e.(AcB)←→(CMA2CxB) 试证 a. AU(BUC)=(AUB)UC=:AUBUC b.Ah(Bn0)=(nB)∩C=:A∩B∩ c.A∩(BU)=(A∩B)U(∩C) d.A∪(B∩C)=(AUB)∩(AUC) 3.验证并与交运算的对偶关系: a. CK(AUBUC)=CKAnC.C b.CM(A∩B∩C)=CxA∪ CNBUCK 对下列笛卡儿积作出几何解颗: 8。二线段(矩形) b.二直线(平面) c.直线与圆周(圆柱面) d.直线与圆面(圆柱体) e.二圆周(圆环) f.圆周与圆面(实圆环), 5.集合A={(x1yE2)∈X2|x1=2}叫做集合X的笛k几正方形X的对 角线 对第4題的a,b,c所得之集的对角线做几何解释 6,试证 盘.(X×y=必)令>(X=)V(Y=y) 如果X×￥≠必,厮 b.(AXBx×1→>(Acx)A(BCY) (X×￥)U(z×F)=(X∪Z)×Y d.(xXy)∩(X×y)=(X∩x)×∩y) 这里还表空集,即不含任何元素的集合 7.将问题3中的关系与§1练习的关系b,c比较,建立对子命题的逻 辑运算]、A、V与对于集合的运算c,∩,U之间的关系
3.函数 1.函数(映射)的概念现在来描述(不仅对于数学是)基本 的函数关系的概念 设有二集合x与Y 如果按照某种规律f,对于每个元素X,有一元素Y与 之对应,就说有一个定义在Ⅹ上而在Y中取值的函数 这时,称集合X为函数的定义城;它的一般元素x称为函数的 变元或自变量;与变元x的具体值x∈X相对应的元素yY,叫 做在元素x上的函数值,或叫做当变元x=x0时的函数值,并以 f(x0)表示.当变元变化时,一般来说,值y=f(x)∈Y随x的值而 变.因此,常称量y=f(x)为因变量 对集合X的一切元素取得的所有函数值的集合 f(X):={∈Y|3z((x∈X)∧(y=f(x)) 叫做函数的值集,或叫函数的值域 由于集合X,y的性质不同,术语“函数”在不同的数学部门中 各有其合用的同义词:映射变换射算子,泛函其中映射是最 通用的我们也经常使用这个名词 常用记号 fX→Y;x→、y 来记函数(映射) 如果函数的定义域和函数值域从上下文看很明显时,也用 f(x)或y=f( 这种简单记法,有时就只用一个字母∫来表示函数 如果两个函数f,2有相同的定义域X,且对每个x∈X,这 两个函数的函数值f1(x),∫2(x)一致,就认为两个的数∫1与∫ 致或相等这时记作f1
如果AcX,而fx→Y是某个函数,就用fA或升A来表示 函数q:A→>Y,φ在集合A上与∫一致.更确切地说,就是当x A时,升4(x)=f(x).称函数升A为函数∫在集合A上的缩小或 限制,而函数f:X→Y相对于函数φ=升A:A→Y来说,就叫 函数在集合x上的扩张或延拓. 我们看到,有时要考察定义在某个集合X的子集A上的函数 q:A—≯F,并且值域φ(4)也可能是与Y不一致的Y的一个子集 因此对于包含定义域的任意集合x,有时就用术语“函数的出发 域”称呼它,而把包含函数值域的任意集合Y,叫做“函数的到达 域 这样,给出一个函数(映射)要求指明一个三元组(X,f,Y), 其中 X—函数的被映射集或定义域; Y—一函数所映入的集合或函数的到达域; f一规律,按照它,对每个xX,有确定的元素∈y与之 对应 我们看到,在这里X与y是不对称的,这反映着映射是从x到 Y内的 现在看看函数的几个例子 例1公式L=2x与V=z3建立了圆周长l及球体积 V关于半径r的函数关系.每个公式按其意义各自给出定义在正 实数集R上,且在同一集R,中取值的函数fR+→R 例2设x是惯性坐标系的集合,而C:X…R是这样一个函 数:对于每个惯性坐标系∈X,对应一个测量出来的相对于这个 惯性坐标系在真空中的光速c(x)。根据基本实验的事实,函数c x→>R是常数函数,即对于任何X,它有同样的值c 14
例3设由公式 给出的映射G:R→R2(R2是时间轴R4与室间轴Rx的直积:R =R×R武:×Rx)是到自身的映射 这是经典的伽利略变换,它把一个惯性坐标系(x,t)变成另 个惯性坐标系(x,),后者对前者的运动速度是v 由 给出的变换:R2→>R2也是为了同样的目的.这是著名的( 锥)罗伦兹变换①,它在狭义相对论中起着基本的作用;其中c是 光速 例4由关系X1xX2(x,x2)+Px1∈X1给出的变换叫做 射影pr:1xx2→X1.显然,它是一个函数.用类似的方法可 定义第二个射影pr2:x1XX2->X2 例5设5(n是集合M的一切子集的集合,对于每个长 5(M,令A在醒中的补集CM(4)∈多(M)与之对应,于是得到 5(M)到自身的映射CM:5(M)→>5(M) 例6设EcM.在M上用条件 (x(x)=1,当x∈B∧(xg(x)=0,当xCk() ①G.A. Lorentz(1853-1928)—荷兰物理学家.所说的变换是他在1904 年得到的,而在1905年爱因斯理表述的驶义相对论中,这一变换得到了重要的应用 15
定义的实值函数xg:M→>R,叫做集合E的特征函数 例7设M(X;F)是x到Y中的映射的集合,而x0为X中一 个固定的元素.令每个函数M(X;Y)对应于它在20的值∫(x0) ∈Y.这就确定了一个函数 5:M(X;Y)→y 特别当Y=R,即y为实数集时,函数:M(X;R)→R把每个函 数∫:X-对应到一个数.所(∫)=∫(x),这样驿是定义在函 数上的函数,为了方便起见,把这样的函数叫做泛函 例8设厂为位于曲面上(例如在地球上)且联接两个固定点 的曲线的集合.可以令厂中每条曲线γ对应于它的长,这样就得 到函数:→>R;为了求曲面上二已知点间的最短线或所谓的测 地线,常需要研究这种函数 例8考察定义在整个实轴R上的所有实值函数的集合 M(R;R).固定一个数a∈R,对每个函数f∈M(R;R),使函数 fa∈M(R;R)与它对应,它们间的联系是fa(x)=f(x+a).函数 fa(x)通常叫做将函数∫(x)平移一个数a.这样所生成的映射 A:M(R;R)→M(R;R) 叫做平移算子.因此,算子A是在函数上定义的,而它的值也是 函数,fa=A(f 如果我们难以看到实际的算子,那么上面考察的这些例子就 可能被指责为是矫揉造作的,实际上每架收音机就是一个算子 f”子,它把电磁信号f转变为音频信号我们的每个感宫,都 是具有它自己的定义域和值域的一个算子(转换器) 例10空间质点的位置是由叫做它的空间坐标的有序三元 数组(x,y,3}来确定的.一切这样的有序三元数组构成的集合可 理解为三个数轴R的直积RxR×R=R3 16