K的定义推知包含着K,即P(K)为真;7P(K)也不可能真, 因为这就表示K包含着K,而这与K的定义:它是不含自身的集 相矛盾 因此,K不是集合 这是经典的罗素①悖论,它是朴素集合论所导致的悖论之 在近代数学中,集合的逻辑概念受到了精细的推献(这并不是 无根据的).我们不去进行这种深入的分析,我们仅指出,在现行 的公理化理论中,集合被定义为有一套确定性质的数学对象 描述这些性质构成了公理.集合论公理的核心是假定了一些 规则,根据这些规则可以从一些集合构成新的集合.总之,现行的 任何公理体系,一方面,要避免朴素理论中众所周知的矛盾,另 方面,要保证适应于各种具体的集合,这些集合来源于数学的不同 部门,首先是数学分析,当然是按广义理解下的数学分析 我们对集合的概念,暂时就给出这些注释,并转而描述在分析 中最常用的集合性质 希望对集合概念作更详细地了解的读考/镣意A的 第二段,或查阅专门文献 2.包含关系已经说过,组成集合叫逐集合的远 素我们尽量地用大写拉丁字母表示集而用对會婚小写率母 表示集合的元素 命题“z是集合X的元素”用符号简单地也 z∈x(或Xz), 它的否命题用符号 2(X(或X) 来记 ①B. Russel(1872-1970)——英国逻辑学家,哲学家,社会学者,社会活 动家 7
在书写有关集合的命题时,经常运用逻辑运算彐(“存在”或 找到”)与(“任何的”或“对于任何的”),分别称之为存在量词与 全称量词 例如写法yx((z∈A)<→(z∈B)表示的是,对于任何事物x, 关系x∈A与x∈B是等价的.因为一个集合完全被它的元素所确 定,所以,上述命题可以简记为 A=B 读做“4等于B”,它表示集合A与集合B完全一致 这样,当二集合由同样的元素构成时,它们相等 否定相等就写成A≠B 若集合A的任何元素都是集合B的元素,就记作ACB或B A,并说集合A是集合B的子集,或说B包含A,或说B含有A 因此,集合AB间的关系ACB叫做包含关系(图1) 于是 (AcB):=z(x∈A)=>(a∈B)) 如果ACB且4≠B,就说包含关系ACB是严格的或说A是 B的真子集 利用所引进的定义,可以推知 (A=B)<→>(AcB)∧(BCA) 如果M是集合,P是任一性质,那么就能从M中分出一个子集 *∈M|P(x)}, 它是由M中有这一性质的一切元素组成的子集 例如,显然有 M={x∈M|a∈M} 另-方面,如果P是M中任何元素都不具有的性质,比如说,P(x) =(x≠x),则我们得到集合 ={x∈M|x≠x}
它叫做M的空子集 AGB AUB AiB 图 图 图 图4 8.最简单的集合运算设A与B都是集合M的子集 集合 AUB:={x∈M!(z∈A)∨(x∈B)}, 由M中的那些元素组成它至少属于A,B中之一(图2),称此集 为A,B的并 b.集合 A∩B:={x∈M|(x∈A)∧(x∈B)}, 由M中的那些元素组成,它同时属于A和B(图3),称此集为A, B的交 C.集合 A\B:={x∈Ml(x∈A∧(xB)}, 由M中的那些元索组成,它属于A但不属于B(图4),称此集为 A,B的差 集M与M的子集A之差通常 叫做A在M中的补集,记作CMA, 如果由前后文能明显地知道A是 哪个集中的补集时,就记作CA M (图5) 图5 例为了说明引进的这些概念的相互作用,我们验证下面的
关系式(称之为德·摩尔根⑩规则) CM(AUB)=CMA∩CMB CM(A∩B)= CMAUCNE (2) 例如我们证明第一个等式 4(x∈Ck(AUB))一>(2AUB) >(x(A∧(xB) (x∈CMA)∧(x∈CxB) →(x∈(0xA∩CMB)。 因此,得证 CM(AUB)C(CkA∩CxB), (3) 另一方面, (x∈(CxA∩CMB)=>((x∈CaA∧(x∈CMB)) ->((rA)A(zEB))==>(3(AU B)) (x∈CM(AUB)) 即 CM(AB)(CA∩CxB) 由(3)与(4)即得到(1). d.集合的直积(笛卡儿积).对于任意两个集合A,B,可构 造出新的集合一—对{A,B}={B,4},它的元素只有A和B.如 果A≠B,它有两个元素,当A=B时,它只有一个元素 所说的这个集合叫做A,B的无序对,以区别于序对(A,B 在序对(A,B中,元素AB被赋予一种附加的特征,根据它分辨 出A是对{AB}的第一个元素,而B是第二个元素.按定义,序对 等式 B)=(C,D), ①De, Mor gan(1806-1871)—苏格兰数学家 I
表示A=C,B=D.特别地,如果A≠B,那么(A,B)≠(B,4 现设X,Y是任意两个集 按定义,由一切序对(x,y)(共第一项是X中的元素,而第2项 是Y中的元素)所构成的集合 X×Y:={(x,y)|(x∈X)∧(y∈Y)}, 叫儆集合x,Y(按这样的次序)的直积或笛卡儿积 由直积的定义及上面关于序对所做的洼释,一般来说,X×Y ≠Y×x,只有当X=F时,这个等式才成立.这时我们把X×x 缩写成X2 直积又叫做筲卡儿积,以纪念笛卡儿①,他曾与费尔马②各自 独立地引进了坐标系及几何的分析语言.众所周知的平面笛卡儿 坐标系,恰好把平面变成了两个数轴的直积,笛卡儿积与它的因 子的次序有关这一点,在这个熟知的情形是非常显然的,例如,序 对(0,1)和(1,0)对应于平面上两个不同的点 设序对z=(x1,x2)是集合X1,X2的直积x1×x2中的元素, 叫做序对z的第一射影,记作pr{2;而x叫做序对z的第二射 影,记作pz2 类似于解析几何中的术语,时常把序对的射影叫做(第一、第 )坐标 练习 在问题12,3中用A,B,C表示某集M的子集 1.验证下面诸关系式 a.(ACC)A(BCC)<>((UB)CC) ① Descarte(1596-160)—著名的法国哲学家,数学家与物理学家.他在 科学思想方法和认识论方面作出了重大贡献 ② Fermat(1601-1665)——卓越的法国数学家,职业法学家.费尔马在现代 数学:分析解析几何概率论等系列领域中,都居于创始的地位 11·