(伽利略①) 这时,祁应于上述记号, 写法 表示 →P L蕴含P L<→P L与P竽价 (→P∧(P))=→>(1D)若P由L推出,而P不 真,则L不真 了((L<→>0)∨(P<>G) G既不等价于L,也不 等价于P 我们注意,由较简单的命题构成复杂命题时,使用了括号,正 像写代数式那样,它们起着有关结构层次的作用.同代数中一样, 为了节省括号,必须约定“运算次序”为此目的,我们对符号规定 如下的优先次序 ,∧,V,→,> 在这样约定下,式子1A∧BVC→>D应解释成 ((14)∧B)VC)=>D, 而AVB=→>C应解释成(AVB)一>C,而不是AV(B=>C) 对于表示A蕴含B或B由A推出的写法A→B,我们常常赋 予它另一种文字解释:B是A的必要特征或必要条件,同样有,A 是B的充分条件或充分特征.于是关系 A←>B 可用下面任一种方法去解释: 对于B,A既是必要的又是充分的; B成立当且仅当4成立; 若且仅若B成立,有A成立; ① Galileo(1564-1642)是意大利学者伟人的自然科学家.他的工作成为后 来关于空间和时间的仝部物理概念的基础、他是现代物理学之父
A与B等价 因此,写法A<→>B表示A蕴含B同时B蕴含A 对式子A∧B中连接词“并且”的用法不需作解释了 然而应注意,在式子AVB中的连接词“或”,不是区分连接 词,也就是说只要命题AB中有—个为真,AⅤB就正确。例如 设x是使x2-3x+2=0的实数.这时可以说下列关系成立: (x2-3x+2=0)≤>(x=1)V(x=2) 2关于证明的注记典型的数学论断具有A→B这种形式, 这里A是前提,B是结论,这论断的证明是建立一小串莲含关系 A→01 Cn→B4 其中每个蕴含关系或为公理,或为已证明了的断语 在证明中,我们将使用古典的推证法则:若A真且A→B那么 B也真 在用反证法证明时,我们还将使用排中律,根据它,不论命题 A的内容是什么,A∨A(A或非A总是正确的.因此,我们同 时还采用(1A)<>A,即一个命题两次否定等价于原命题 3.某些专门记号为方便读者及简化文字叙述,约定分别用 记号及来表示证明的开始和结束 还约定,当方便时,用专门的记号:=(据定义等于)引进定义, 其中两点放在被定义的对象一边 例如 f(r)da:= lim o(, P, E) A(P)→0 是用右端定义左端.而右端的含义认为是已知的 类似地,对已有定义的式子,也用这个记号引进简缩记法,例 如 ①A吵B→C是(A=B)(B=0)的缩写
xf()△x=:o(,P) 是用记号(f,P,)表示左端的专门的和式 4.最后的注记注意,在这里我们实际上只谈到了记法,并 没有分析逻辑推导的形式,也没涉及那些构成数理逻辑研究对象 的真实性、可证明性,可推导性等深刻问题 如果我们没有形式逻辑,怎么建立数学分析呢?这里使人得到 一些安慰的是,我们知道的,或说得更恰当些,我们能掌提的,总比 完成形式化所需要的多些这可以用一句格言来说明:当你要求 只蜈蚣解释它是怎样控制那么多条的时候,它早已学会走路了 整个科学的经验使我们断定,昨天认为明显、简单且不能分的 东西,今天就将受到重新审査或把它精确化.数学分析的许多概 念,例如在十七、十八世纪就已发现的许多重要定理和工具就是这 样的(无疑,它们还将受到审查和精确化).然而,只是在创立了极 限理论,以及为使它的逻辑完整所必需的实数理论(在十九世纪) 之后,数学分析才获得了现代形式化的、含义确切的,从而为人们 理解的形式 在第二章中,我们正是按实数理论的这种水乎开始建造数学 分析的整个大厦 练习 用1表示命题正确用0表示命题不正确.这时,对命题7A,AAB,AV B,A→B中的每一个,可建立所谓真假表,它做据命题A,B的真实性,指出了 上述命题的真实性.这些表是逻辑运算,A,V,→的形式定义.这就是 01 01 A∧B 000;
B B AVB 001 A→B 011 a.验证这些表中所指示的一切是否都与你关于相应的逻辑运算的通常 观念相符合 注意,若A不真,则A→B总是真的.数学中所采用的这种蕴含定义与 生活中的含义有些差别 试证下面的筒单关系成立;它们在数学的论证中极为重要且有广泛的 应用 b.(AAB)←>AVB C. 1(AVB)AAB. d.(A→B)<→>(1B→A), e.(A→B)<>刁AVB. f.(A→B)<→ATB. §2.集与集的初等运算 L.集合的概念从上世纪末到本世纪初,集合论语言成为最 通用的数学语言.这甚至有人在对数学所下的一种定义中说,数 学就是研究集合上各种结构(关系)的科学① “所谓集合,是我们直观感到或意识到的由确定的彼此不同 的对象结合在一起的联合体”;集合论的奠基人乔治·康托尔②就 是这样描述集合概念的 康托尔的描述,当然不能叫做定义,因为他是向(以前未定义 过的)比集合概念更复杂的概念求援.这种描述的日的是把这个 ① Bour ba ki在其一本书的补充文献表中列出的一本书,名为“数学的结构”, ②G. Cantor(1845-1918)—德国数学家,无穷集理论的创始人,在数学中 使用集合论语言的鼻祖
概念与其它概念联系起来进行阐明 康托尔的(或叫做“朴素的)集合论的基本前提可归结为: 1°集合可由任意不同的事物组成 2°集合由构成它的事物集聚而唯一确定; 3°任何性质确定具有该性质的事物的集合 若x是一事物P是一性质,P(x)表示x有性质P.用{xP(x)} 表示具有性质P的一切事物的类 组成类或集合的事物,叫儆类或集合的元素. “类”,“族”,“集体”,“组”等字,在朴素集合论中作“集合”的同 义词来使用 下面的例子说明这些术语的应用: 从“a”到“x”的字母的集合; 阿达玛的妻子的集合 十个数码所成的组; 科物姨 地球王沙粒的集合; 平面上与共地二已知点等距离的点的全体; 集合的族; 所有聽合的集合 集合课题的定能在程度上可能具有的差别向我们提示集 合这个概念可不是那么简单和不出麻烦的概念 事实上,例如一切集合的集合这个概念,就会产生矛盾 设M为一集合,用P(M表示M不以自己作为元素的集 的一种性质 考查具有性质P的集合的类K={M!P(M) 如果K是集合,那么,或者P(K)为真,或者P(K)为真、然 而,“者择一对于K是不可能的.实际上,P(K不成立,因为由