目录 序言…………………………………………1 第一章一些通用的数学概念与记号… §1,逻辑符号… 1.关系与括号(1)2.关于证明的注记(3) 3.某些专门记号(3),4,最后的注记(4) 练习(4) §2集与集的初等运算… 1.集合的概念(5),2.包含关系(7) 3.最简单的集合运算(9) 练习(1) §3.函数………………………………………………13 1,函数(映射)的概念(Ⅰ3).2.映射的简单分类(18) 3.函数的复合与互逆映射(19) 4.作为关系的函数,函数的图象(21) 练习(25) §4.某些补充…………… 28 1,集的势(基数)(28).2.集合的公理理论(3]) 3.关于数学述语的结构及共用集合论语言的写法的注记(33. 练习(35) 第二章实数……………………… 38 §1实数集的公理体系及它的某些一般性质……38 1.实数集的定义(38),2.实数的某些一般的代数性质(42) 3.完备公理与数集的上(下)确界的存在性(47), §2最重要的实数类及实数运算的一些计算问题………49 1.自然数与数学归纳原理(49) 2.有理数与无班数53),3.阿基米德原理(57)
4,实数集的几何解释与实数运算的一些计算问题(60), 习题与练习(74) §3.与实数集的完备性有关的基本引理……………………79 1.闭区问套引理(刨西-康托尔原琊)(79) 2.有限覆盖引理(波荚尔…勒贝格原理)(80) 3.极限点引理(波尔察诺维尔斯特拉斯原理)(81) 习题与练习(82) §4.可数集与不可数集… …………83 1.可数集(83).2连续统的势(85), 习题与练习(86) 第三章极限 ……89 §1.序列的极限……………… 90 1.定义和例子(90).2.数列极限的性质(92), 数列极限的存在问题(97).4.级数的初步知识(10) 习题与练习(122) §2E数的极限……… 旱·,. 126 1.定义和例子(126).2.函数极限的性质(131) 3.函数极限的一般定义(对基底的极限)(150) 4.函数极限的存在问题(155) 习题与练习(174) 第四章连续函数……… …………179 §1.基本定义和例子……………… 179 .函数在一点处的连续性(179).2,间断点(185) §2.连续函数的性质……… …188 1.局部性质(188).2,连续函数的整体性质(190) 刁題与练习(202) 第五章微分学…… 207 §1.可微函数… ……………207 T.问题和引言(207).2.在一点处可微的函数(213) 3.切线;导数和微分的几何意义(216),4.坐标系的作用(220) 5,一些例子(221)
习题与练习(228) §2.微分的基本法则… 229 7.微分法和算术运算(230)2.复合函数的微分法(234), 3.反函数的微分法(238).4,焦本初等函数的导数表(244) 5.最简单的隐函数的微分法(245).6.高阶导数(250) 习題与练习(255) §3.微分学的基本定理… …256 .关于有限增量的拉格朗日定理(25) 2.泰勒公式(263) 习题与练习(278) §4.用微分学的方法研究函数 283 1.函数单调的条件(283),2.函数内极值点的条件(284) 3.函数凸的条件(291).4,洛必达法则(300) 5.作函数的图象(303) 习題与练习(313) §5.复数,初等函数彼此间的联系 318 1.复数(318),2.C中的收敛及复数项级数(322) 3.欧拉公式以及初等函数彼此问的联系(328) 4.函数的解析性和它的泰勒级数的收敛性332). 5.复数域C的代数封闭性340) 习题与练习(347) §6·自然科学中应用微分学的一些例子…………349 1.齐奥尔柯夫斯基公式(349),2.气压公式(351, 3.放射衰变连锁反应及原子反应堆(34) 4.物体在空气中降落(357) 5.再贽数e及函数expx(359) 6.振动(362) 习题与练习(367 §7.原函数 甲··目甲··..白··.·m甲甲·.·身..··,P·甲中 370 1.原函数和不定积分(370).2.套原函数的基本的一般方法(373)
3.有理函数的原函数(379) 4,B(cogx,inx)dx型的原函数(384) 5.R(z,y(x)dz型的原函数(387) 习题与练习(391)
第 章 一些通用的数学概念与记号 §1.逻辑符号 1.关系与括号本书的语言像大多数数学教科书那样,由普 通的语言及一串用以阐明理论的专用符号构成,除了这些按照需 要而引入的专用符号之外,我们还要利用①通用的数学逻辑符号 ,∧,V,→>、<>,它们分别表示否定词《非》,《并且》,《或 蕴含》,等价》这些词. 作为例子我们举出代表三种不同旨趣的意见: L如果采用适合于发现的记号………那么,思考的劳动就能 大大地缩减, 莱布尼兹②) P数学是把不同实体统一命名的艺术 (庞加莱③) a自然界这部巨者是用数学语言写成的 ①在逻辑学中常使用符号&,而不用∧、蕴含符号一>常写成,而笭价关 系写做←→或←→但是为了不更换分析中传统的极限记号→,在木教程中、仍使 用上画给出的记号 ② Leibniz(1646-1716)是杰出的德国学者哲学家和数学家,他与牛顿一起 享有发现无穷小分析基础的荣誉 ⑧ Poincare(1857-1912)是法国数学家,他的卓越思想革新了数学的许多部 门井在数学暂理中得到应用