收敛点列的极限是唯一的.实因若设xn既牧敛于x又收敛y,则因 为0≤d(x,y)≤d(x,x)+d(vxn)→0(→∞),而有d(x,y)=0.所以 附注(*)式换个表达方式:md(xn,x)=dmx,x即当点列 极限存在时,距离运算与极限运算可以换序.更一般地有 距离d(x,y)是x和y的连续函数 证明d(x,y)≤d(x)+d(x0,yo)+dUn,y) d(x,y)-d(xny3)≤d(x)+小(,y); d(xo,yo)sd(,x)+d(x,y)+dl, yo)=d(xo, yo)-d(x,y) ≤d(xxn)+dUn,y).所以d(x,y)-d(x,yn)≤d(x,x0)+d(Un,y) 例3(P205.1)设(X,d)为一度量空间,令 B(x0,)={x∈x,d(x)<s},S(n,l)=x∈x,d(x,x)≤s,问 B(, E=S(o, E)? 答在R"空间中,必有B(xn,E)=S(xo,s).在离散度量空间(x,d) 中,当E=1时,B(x0,E)={},S(xn,)=X,此时B(x0,5)≠S(xn 设M是度量空间(X,d)中的点集,定义 S(M)=sup d(,y) 为点集M的直径.若8(M=s甲d(x,y)<,则称M为(X,d)中的有
6 收敛点列的极限是唯一的. 实因若设 n x 既牧敛于 x 又收敛 y ，则因 为 0 d(x, y) d(x, xn )+ d(y, xn ) → 0 (n →) ，而有 d(x, y) =0. 所以 x = y . 附注 ( )式换个表达方式： d(x x) n n lim , → = d( x x) n n lim , → . 即当点列 极限存在时，距离运算与极限运算可以换序. 更一般地有 距离 d(x, y) 是 x 和 y 的连续函数. 证明 d(x, y) ( ) 0 d x, x + ( ) 0 0 d x , y + d(y , y ) 0 d(x, y)- ( ) 0 0 d x , y ( ) 0 d x, x + d(y , y ) 0 ; ( ) 0 0 d x , y d(x , x ) 0 + d(x, y) + ( ) 0 d y , y ( ) 0 0 d x , y - d(x, y) ( ) 0 d x, x + d(y , y ) 0 . 所以| d(x, y)- ( ) 0 0 d x , y | ( ) 0 d x, x + d(y , y ) 0 例 3( P 205.1) 设 (X,d) 为一度量空间，令 ( , ) 0 B x =x x X, d(x, x0 ) ， ( , ) 0 S x =x x X, d(x, x0 ) . 问 ( , ) 0 B x = ( , ) 0 S x ? 答 在 n R 空间中，必有 ( , ) 0 B x = ( , ) 0 S x . 在离散度量空间 (X,d) 中，当 =1 时， ( , ) 0 B x =x0 ， ( , ) 0 S x = X ，此时 ( , ) 0 B x ( , ) 0 S x . 毕. 设 M 是度量空间 (X,d) 中的点集，定义. (M )= d(x y) x y M sup , , 为点集 M 的直径. 若 (M )= d(x y) x y M sup , , ，则称 M 为 (X,d) 中的有
界集(等价于固定x0,x∈M,d(x,x)≤B,B为某正数,则为有界 集) (X,d)中的收敛点列女n是有界集实因,设Imxn= x,则数列{4(xn,x)收敛于0,故M。>0,s.t.n∈N有 d(xn,x0)≤M0,所以n,m∈N,有d(xn,xn)≤d(x,x) d(x0,xn)≤2M0 (xd)中的闭集可以用点列极限来定义:M为闭集M中任 何收敛点列的极限都在M中,即若xn∈M,n=1,2,…,x→>x,则 x∈M 具体空间中点列收敛的具体意义 欧氏空间R 为 R"中的点列,x=(x12x2…,xn)∈R", d(xnx)=vxm-x)+(g)-x)+…+(xm)-x,).xn→x (m→∞)台对每个1≤i≤n,有x→x,(m→∞) 2. Cla. b 设{1cCab],x∈Cab], d(xn,x)=mxxn()-x()→0(→∞)sn在[ab一致收敛于 3.序列空间S 设xn=( 及x=(51,52,…,5n,…)分别是S中的点列及点,则
7 界集(等价于固定 0 x ，xM ，d(x, x0 ) B ， B 为某正数，则为有界 集). (X,d) 中的收敛点列 n n=1 x 是有界集. 实因，设 = → n n lim x 0 x ，则数列 d(xn , x0 ) 收敛于 0,故 M0 0 ，s.t. n 有 ( ) 0 0 d xn , x M . 所以 n,m ，有 d(xn , xm ) ( ) 0 d x, x + ( ) m d x , x 0 2M0 . (X,d) 中的闭集可以用点列极限来定义： M 为闭集 M 中任 何收敛点列的极限都在 M 中，即若 xn M ，n = 1,2, ， x x n → ，则 x M . 具体空间中点列收敛的具体意义： 1. 欧氏空间 n R m x = ( ) ( ) ( ) ( ) m n m m x , x , , x 1 2 ，m = 1,2, ，为 n R 中的点列， x = ( ) n x , x , , x 1 2 n R ， d(x x) m , = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 n m n m m x − x + x − x ++ x − x . x x m → (m →) 对每个 1 i n ，有 ( ) i m i x → x (m →) . 2. Ca,b 设 n n=1 x Ca,b， xCa,b，则 d(x x) n , = max ( )− ( ) → 0 x t x t n a t b (n →) n n=1 x 在 a,b 一致收敛于 x(t). 3. 序列空间 S 设 m x = ( ) ( ) ( ) ( , , , , ) 1 2 m n m m ， m = 1,2, ， 及 x = ( , , , , ) 1 2 n 分别是 S 中的点列及点，则