长江大学：《信号与系统》课程教学资源（PPT课件）第3章 连续系统的拉普拉斯变换分析 3.4 微分方程的拉氏变换解 3.5 动态电路的拉氏变换分析

例 3.21具微分性质系统方程为y"(t)+5y(t)+6y(t)=3f(t)，其中:f(t)=e'ε(t)y(0_)=1,y(0 )=-l,求系统的响应。解1: ["(t)]=s’Y(s)-s y(0_)-y(O_)=sY(s)-s+1[y(O)l= sY(s)-y(O_)= sY(s)-1人[f(t)] =s+1对微分方程进行拉氏变换为：-s2Y(s)- s+1+5sY(s)-5+6Y(s) =s+13(s2 + 5s + 6)Y(s)+s+4二s+1吴山大学电信学院

电信学院 6 例 3.21 系统方程为 y (t) +5y (t) + 6y(t) = 3 f (t) ，其中： y(0− ) =1, y (0− ) = −1 f (t) e (t), t  − = ，求系统的响应。 解1： 对微分方程进行拉氏变换为： 1 1 ( ) 1 5 ( ) 5 6 ( ) 3 2 + − + + − + = s s Y s s sY s Y s 4 1 3 ( 5 6) ( ) 2 + + + + + = s s s s Y s 微分性质 [ ( )] ( ) (0 ) (0 ) ( ) 1 2 2 L y  t = s Y s − s y − − y  − = s Y s − s + L [y (t)] = sY(s) − y(0− ) = sY(s) −1 1 1 [ ( )] + = s L f t

例 3.21具3+s+43+(s+4)(s+1)s+1Y(s) =s2 +5s+6(s+1)(s2 +5s+6)3+(s + 4)(s +1)KKKs+1-$+2 $+3(s+1)(s +2)(s +3)33+(s + 4)(s +1)3+(s+4)(s+1)=-1K,K2(s+2)(s +3)(s +1)(s +3)S=-18S=213+(s+ 4)(s+1)K, =22(s +1)(s +2)S=-3331-e-2'c(t)+_ee(t)-te(t)y(t):三22吴江大学电信学院

电信学院 7 例 3.21 ( 1)( 2)( 3) 1 2 3 3 ( 4)( 1) ( 1)( 5 6) 3 ( 4)( 1) 5 6 4 1 3 ( ) 1 2 3 2 2 + + + + + = + + + + + + = + + + + + + = + + + + +  = s K s K s K s s s s s s s s s s s s s s Y s 2 3 ( 2)( 3) 3 ( 4)( 1) 1 1 = + + + + + = s s S=− s s K 1 ( 1)( 3) 3 ( 4)( 1) 2 2 = − + + + + + = s s S=− s s K 2 1 ( 1)( 2) 3 ( 4)( 1) 3 3 = + + + + + = s s S=− s s K ( ) 2 1 ( ) ( ) 2 3 ( ) 2 3 y t e t e t e t t t t    − − −  = − +

具例3.21可以分别求出零输入响应和零状态响应3(s + 5s +6)Y(s)+$+4s+13s+4s+1Y(S)=s?+5s+6s +5s+6零状态响应零输入响应y(t)= y(t)+y.,(t)吴山大享电信学院

电信学院 8 例 3.21 ⚫ 可以分别求出零输入响应和零状态响应 5 6 4 5 6 1 3 ( ) 2 2 + + + + + + + = s s s s s s Y s y(t) y (t) y (t)  = zs + zi 零状态响应 零输入响应 4 1 3 ( 5 6) ( ) 2 + + + + + = s s s s Y s

具例3.21解23系统函数为H(s) =2 + 5s+6，零状态响应为31.5-31.5Y..(s) = H(s)F(s)=(s+3)(s+ 2)(s+1) s+1 s +2 s+3y. (t) =(1.5e-/ - 3e-2 + 1. 5e-")e(t)可 y-,(t) =C,e-21 +C,e-31零输入响应为2代入初始条件 C, +C,=1-2C-3C2=-1解得 C, =2,C2=-1y., (t) =(2e-21 -e-3')e(t)全响应y(t) = y-,(t) + y_, (t) = (1.5e- -e-21 + 0.5e-3)e(t)吴江大学电信学院

电信学院 9 例 3.21 ⚫ 解 2 ◆系统函数为 ◆零状态响应为 ◆零输入响应为 ◆代入初始条件 ◆全响应 5 6 3 ( ) 2 + + = s s H s 3 1.5 23 1 1.5 ( 3)( 2)( 1) 3 ( ) ( ) ( ) + + +− + + = + + + = = s s s s s s Y s H s F s z s ( ) (1.5 3 1.5 ) ( ) 2 3 y t e e e t t t t z s  − − − = − + t t zi y t C e C e 3 2 2 1 ( ) − − = + C1 + C2 = 1 − 2 C1 − 3 C2 = − 1 解得 C1 = 2 , C2 = − 1 ( ) ( 2 ) ( ) 2 3 y t e e t t t zi  − − = − ( ) ( ) ( ) (1.5 0.5 ) ( ) 2 3 y t y t y t e e e t t t t z i z s  − − − = + = − +