9.2二维矩阵特征值的几何意义 二维矩阵的特征值表示该变换在原图形的特征向 量的方向上的放大量。例如矩阵A,在第一特征向 量，)0方向的特征值为，=-1，即横轴 正方向的增益为-1，其结果是把原图中横轴正方 向的部分变换到新图的负方向去了；A在第二特 0 征向量P(,2)=1 的方向的特征值为21(2)=1， 即纵轴正方向的增益为1，因而保持了新图和原图 在纵轴方向尺度不变
9.2 二维矩阵特征值的几何意义 • 二维矩阵的特征值表示该变换在原图形的特征向 量的方向上的放大量。例如矩阵A1在第一特征向 量 方向的特征值为 ，即横轴 正方向的增益为−1，其结果是把原图中横轴正方 向的部分变换到新图的负方向去了； A1在第二特 征向量 的方向的特征值为λ1 (2)=1， 即纵轴正方向的增益为1，因而保持了新图和原图 在纵轴方向尺度不变。 1 (:,1) 0 = 1 p λ1 (1) 1 = − 0 (:,2) 1 = 1 p
用eigshow函数看特征值 ·对于比较复杂的情况，完全凭简单的几何关系去想 像是困难的，应当用eigshowi函数，联系x和Ax的向 量图来思考。 ● 键入eigshow(A)。绿色的x表示原坐标系中的单位 向量，可以用鼠标左键点住x并拖动它围绕原点转 动。图中同时出现以蓝色表示的Ax向量，它表示变 换后的新向量。当两个向量处在同一条直线上时 (包括同向和反向)，表示两者相位相同，只存在 一个（可正可负的）实数乘子， A比=x
用eigshow函数看特征值 • 对于比较复杂的情况，完全凭简单的几何关系去想 像是困难的，应当用eigshow函数，联系x和Ax的向 量图来思考。 • 键入eigshow(A4 ) 。绿色的x表示原坐标系中的单位 向量，可以用鼠标左键点住x并拖动它围绕原点转 动。图中同时出现以蓝色表示的Ax向量，它表示变 换后的新向量。当两个向量处在同一条直线上时 （包括同向和反向），表示两者相位相同，只存在 一个（可正可负的）实数乘子λ， • Ax=λx
Eigshow(A4)产生的图形 eigshow 日回☒ [1.000.50:0.001.00] 0.5 eig/(svd) help close 0.5 0 0.5 Make A'x parallel to x 开始属地址 人ATLAB 园们第五章线性： eigshow 色《铭69公136
Eigshow(A4)产生的图形
将eigshow1,2;2,2])粘贴到命令窗 eigshow([1,2;2,2])的图形 Ax 1 0 1 2 Make A'x parallel to x
eigshow([1,2; 2,2])的图形 将eigshow([1,2; 2,2])粘贴到命令窗
A是对称实矩阵的情况 ·特别要注意A是对称实矩阵的情况，所谓对 称矩阵是满足AT=A的矩阵。，对2x2矩阵， 只要求A(1,2)=A(2,1)。例如令A=[1,2,2,2] 再键入eigshow(A),这时的特点是：Ax=λx 出现在Ax椭圆轨迹的主轴上，所以两个特 征值分别对应于单位圆映射的椭圆轨迹的 长轴和短轴。此时A的特征值为-0.5616和 3.5616,可以和图形对照起来看
A是对称实矩阵的情况 • 特别要注意A是对称实矩阵的情况，所谓对 称矩阵是满足AT=A的矩阵。，对22矩阵， 只要求A(1,2)= A(2,1)。例如令A =[1,2;2,2] 再键入eigshow(A)，这时的特点是：Ax=λx 出现在Ax椭圆轨迹的主轴上，所以两个特 征值分别对应于单位圆映射的椭圆轨迹的 长轴和短轴。此时A的特征值为 -0.5616和 3.5616，可以和图形对照起来看