应变可以证明，式（7）中反对称项可以写成含[_一 0=(×) l,(12)对应的是旋转位移如果不考虑旋转形变，则3Eegorj(13)u=ou=e.or-发生形变之后r和r十or之间的间距变成(8r+8u)2&r.5r+25r-5u+O(Su2)=|8r/2+25r·e·8r+O(5u2)(14)忽略高阶项O(Su2），则上式表明应变张量对间距变化有贡献，反映了质点之间的拉伸或者压O缩。no011/42
应变 ❀ 可以证明，式(7)中反对称项可以写成 1 2 ÿ3 j=1 [ Bui Brj ´ Buj Bri ] δrj = 1 2 [(∇ ˆ u) ˆ δr] i (12) 对应的是旋转位移。 ❀ 如果不考虑旋转形变，则 δui = ÿ3 j=1 εijδrj ñ δu = ε ¨ δr (13) 发生形变之后 r 和 r + δr 之间的间距变成 (δr + δu) 2 « δr ¨ δr + 2δr ¨ δu + O(δu 2 ) = |δr| 2 + 2δr ¨ ε ¨ δr + O(δu 2 ) (14) ☞ 忽略高阶项 O(δu 2 )，则上式表明应变张量对间距变化有贡献，反映了质点之间的拉伸或者压 缩。 中国科学技术大学 2025 年 3 月 25 日 11 / 42
应变du,ydudOvu,(x,y+dy)audaxAyu,(x, y)Oud0xdxu,(x, y)u,(x+dx,y)x图一二维位移场示意图。3org/viki/InfinitesinalDe:lfeetrain thearn12/4
应变 图 – 二维位移场示意图。3 3 https://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory 中国科学技术大学 2025 年 3 月 25 日 12 / 42
应变和膨胀率考虑应变之前边长分别为6r（=1,2.3）的体积元0[or10Sr2(15)△V=det0000Sr3.并且u=2,8发生应变之后，体积元的边变成Sr+Sui，关02[(1 +e)orBmorgron△V= det(1 +e22)5r2(16)Crn00m(1 +33)8r3因此体积变化率，或者说膨胀率1AV-AV(17)n=2611+E22+E33AVnon3/4
应变和膨胀率 ❀ 考虑应变之前边长分别为 δri(i = 1, 2, 3) 的体积元 ∆V = det δr1 0 0 0 δr2 0 0 0 δr3 (15) ❀ 发生应变之后，体积元的边变成 δri + δui，并且 δui = ř j Bui Brj δrj ∆V 1 = det (1 + ε11)δr1 Bu1 Br2 δr2 Bu1 Br3 δr3 Bu2 Br1 δr1 (1 + ε22)δr2 Bu2 Br3 δr3 Bu3 Br1 δr1 Bu3 Br2 δr2 (1 + ε33)δr3 (16) ❀ 因此体积变化率，或者说膨胀率 η η = ∆V1 ´ ∆V ∆V « ε11 + ε22 + ε33 (17) 中国科学技术大学 2025 年 3 月 25 日 13 / 42
应力物体由于外因（受力、湿度、温度场变化等）而发生形变时，在物体内各部分之间产生相互作用的“内力”单位面积上的内力称为应力（stress）单位为N/m2=Pa。应力的量纲是E面积G“内力”有与选择的面平行的分量，也有与面垂直的分量。4nttp://uvu.yutube,com/uatch?v-aqr6q8t1FqE202514/42大
应力 ❀ 物体由于外因（受力、湿度、温度场变化等）而发生形变时，在物体内各部分之间产生相互作 用的“内力”，单位面积上的“内力”称为应力（stress）。4 σ σ τ ☞ 应力的量纲是 [ 力 面积] ，单位为 N/m2 = Pa。 ☞“内力”有与选择的面平行的分量，也有与面垂直的分量。 4 https://www.youtube.com/watch?v=aQf6Q8t1FQE 中国科学技术大学 2025 年 3 月 25 日 14 / 42