二次型与矩阵的关系 伽鼓简单份=次图2+P可表示为(：)(） 也可以写 (:)(:）=*题+可来示(：()(：) 般地，二次型ax2+by2+cz2+dw2可表示为 (r yz w diag(a,b,c,d) 问题：二次型5x2-6xy+2y2如何用矩阵的乘法表示？比较简单 的一种表达是()(5。)() 当然，此答案不唯一，比 如.(：)(8）(：) 通此用矩阵的乘法表示二次型可以有无 穷多种方式，诀格是：其中对称矩阵只有一种！该对称矩阵称为该二次型 的矩阵. 格L一{二次型的等价类}一对称矩阵A(L) Warning:整系数二次型的矩阵未必是整数矩阵；于是，二次型可分为 整数矩阵二次型与整二次型(=整系数二次型).CS的15-定理指的都是整数 矩阵二次型 研究二次型（特别地，万有二次型）一研究格一研究对称矩阵！ 6
✓❣✳❺Ý✡✛✬❳ ⑦4 ⑩④ü✛✓❣✳x 2 + y 2 ➀▲➠➃ x y x y ! ➜➃➀➧✕ ↕ x y I x y ! . ✓❣✳ x 2 + 2y 2 ➀▲➠➃ x y 1 0 0 2 ! x y ! . ➌❸✴➜✓❣✳ax2 + by2 + cz2 + dw2 ➀▲➠➃ x y z w diag(a, b, c, d) x y z w . ➥❑➭✓❣✳5x 2 − 6xy + 2y 2 ❳Û❫Ý✡✛➛④▲➠➸✬✖④ü ✛➌➠▲❼➫ x y 5 −3 −3 2 ! x y ! ➯✟✱➜❞❽❨Ø➁➌➜✬ ❳➜ x y 5 −6 0 2 ! x y ! . Ï❞❫Ý✡✛➛④▲➠✓❣✳➀➧❦➹ →õ➠➄➟➜ü❶➫➭Ù➙é→Ý✡➄❦➌➠➐❚é→Ý✡→➃❚✓❣✳ ✛Ý✡. ❶L ↔ {✓❣✳✛✤❞❛} ↔é→Ý✡A(L) Warning: ✒❳ê✓❣✳✛Ý✡➍✼➫✒êÝ✡; ✉➫➜✓❣✳➀➞➃ ✒êÝ✡✓❣✳❺✒✓❣✳(=✒❳ê✓❣✳). CS✛15-➼♥➁✛Ñ➫✒ê Ý✡✓❣✳. ï➘✓❣✳(❆❖✴➜✙❦✓❣✳)↔ï➘❶↔ï➘é→Ý✡➐ 6
CS的做法： 1.能阵表达1的1维格是L1=<e1>,e1=1,相应的二次型为f(x)= x2,相应的对称矩阵为A=(1).该二次型显然恰好表示了所有平方数 2.扩充该1维格L1=<e1>以得到2维格L2=<e1,e2>,此时e1= (1,0),e2待定.假设L2对应的（对称）矩阵为 4-(8) 二次型为 f(x,y)=22+2axy by2. 由正定性可知a2<b.欲使f(c,)=x2+2axy+bg能阵表达2，可知b≤2， 因此a=0,±1.即有下述四种情形 (0)(0)(1)(1) 而第三、四个矩 阵所对应同一个格，故实际上能阵表达整数1与2的格（等价地，二次型）只有 三种： (0)(09）(1) 例1与例2给出了第一个与第三个格，第二个格与第一个类似 三元二次型（等价地，3维格）如何？ 7
CS✛❽④➭ 1. ❯✡▲❼ 1 ✛1➅❶➫L1 =< e1 >, e1 = 1, ❷❆✛✓❣✳➃f(x) = x 2 , ❷❆✛é→Ý✡➃A = (1). ❚✓❣✳✇✱❚Ð▲➠✡↕❦➨➄ê. 2. ✯➾❚1➅❶L1 =< e1 >➧✚✔2➅❶L2 =< e1, e2 >, ❞➒e1 = (1, 0), e2➊➼.❜✗L2é❆✛(é→)Ý✡➃ A = 1 a a b ! , ✓❣✳➃ f(x, y) = x 2 + 2axy + by2 . ❞✔➼✺➀⑧a 2 < b. ➊➛f(x, y) = x 2 + 2axy + by2❯✡▲❼ 2➜➀⑧b ≤ 2, Ï❞ a = 0, ±1. ❂❦❡ã♦➠➐✴ 1 0 0 1 ! , 1 0 0 2 ! 1 1 1 2 ! , 1 −1 −1 2 ! . ✌✶♥✦♦❻Ý ✡↕é❆Ó➌❻❶➜✙➣❙þ❯✡▲❼✒ê1❺2✛❶(✤❞✴➜✓❣✳)➄❦ ♥➠➭ 1 0 0 1 ! , 1 0 0 2 ! 1 1 1 2 ! . ⑦1❺⑦2❽Ñ✡✶➌❻❺✶♥❻❶➜✶✓❻❶❺✶➌❻❛q. ♥✄✓❣✳(✤❞✴➜3➅❶)❳Û➸ 7
注意上述三个2维格的第一、第三个不能表示3，第二个不能表示5.因 此，只考虑前两个.将它们扩充成3维格L3=<e1,e2,e3>.欲使它们能够分 别表示3与5，则L3对应的矩阵应为 正定性要求a,b=0,1:c,d=0,1,2.于是L3有10种情况：每一个不能表 示{1,2,3,5,6,7,10,14,15}中的一个或几个 继续！将这10个3维格扩充成4维格L4,可得203种4元二次型，几乎每 个都是万有的！ 100 例4对第一个3维格L3(1) 8 =13,其二次型x2+2+ z2(不能表示7)扩张成的四元二次型(4维格)为 x2+y2+z2+mw2(m≤7) 这些二次型都是万有的！这是因为下面的 Legendre.三平方定理正整数n可被二次型x2+y2+2表示←→ n≠4(8k+7). 习题3求一个三元正定二次型使得其不能表示的最小正整数（该数称 为truant)是14.找出该二次型对应的格的2组不同的基使得其中至少一 组基的基向量不是两两垂直的， 8
✺➾þã♥❻2➅❶✛✶➌✦✶♥❻Ø❯▲➠3➜✶✓❻Ø❯▲➠5. Ï ❞➜➄⑧➘❝ü❻. ò➜❶✯➾↕3➅❶L3 =< e1, e2, e3 >. ➊➛➜❶❯✡➞ ❖▲➠3❺5➜❑L3é❆✛Ý✡❆➃ 1 0 0 0 α 0 0 0 β , 1 0 a 0 1 b a b 3 , 1 0 c 0 2 d c d 5 . ✔➼✺❻➛a, b = 0, 1; c, d = 0, 1, 2. ✉➫L3❦10➠➐➵➭③➌❻Ø❯▲ ➠{1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 15}➙✛➌❻➼❆❻. ❯❨➐òù10❻3➅❶✯➾↕4➅❶L4➜➀✚203➠4✄✓❣✳➜❆✂③ ❻Ñ➫✙❦✛➐ ⑦4 é✶➌❻3➅❶L3(1) = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 = I3➜Ù✓❣✳x 2 + y 2 + z 2 (Ø❯▲➠7)✯Ü↕✛♦✄✓❣✳(4➅❶)➃ x 2 + y 2 + z 2 + mw2 (m ≤ 7) ù✡✓❣✳Ñ➫✙❦✛!ù➫Ï➃❡→✛ Legendre♥➨➄➼♥ ✔✒ên ➀✚✓❣✳x 2 + y 2 + z 2 ▲➠ ⇐⇒ n 6= 4e (8k + 7). ❙❑3 ➛➌❻♥✄✔➼✓❣✳➛✚ÙØ❯▲➠✛⑩✂✔✒ê(❚ê→ ➃truant)➫14. éÑ❚✓❣✳é❆✛❶✛2⑤ØÓ✛➘➛✚Ù➙➊✟➌ ⑤➘✛➘➉þØ➫üü❘❺✛. 8
注1.A.M.Legendre(勒让德，1752-1833)，法国著名的3L之一（另两个 是Laplace和Lagrange,是埃菲尔铁塔上的72个名字之一).证明了n=5时 的费马大定理.素数猜想是其首先公布的，但高斯说自己很小的时候（大 约14、5岁，比勒让德早5、6年)就己经得出了素数分布的公式，勒让德听 后愤怒异常，但又无可奈何.勒让德发明了最小二乘法，但高斯说他自己很 小的时候就已经使用了最小二乘法，大约比勒让德早十几二十年，不过此 时勒让德不再愤怒，因为他已经听不见了（高斯是在勒让德死后说的） 9
✺1. A.M.Legendre (❱✹✙➜1752-1833)➜④■❮➯✛3L❷➌(✱ü❻ ➫ Laplace ÚLagrange➜➫❉➍✏❝➞þ✛72❻➯✐❷➌). ②➨✡n = 5➒ ✛↕ê➀➼♥. ❷êß➂➫Ù➘❦úÙ✛➜✂♣❞❵❣❈é✂✛➒ÿ↔➀ ✕14✦5➉➜✬❱✹✙❅5✦6❝↕Ò➤➨✚Ñ✡❷ê➞Ù✛ú➟➜ ❱✹✙❢ ➨ä➱⑦➜✂q➹➀●Û. ❱✹✙✉➨✡⑩✂✓➛④➜✂♣❞❵➛❣❈é ✂✛➒ÿÒ➤➨➛❫✡⑩✂✓➛④➜➀✕✬❱✹✙❅➏❆✓➏❝➜ Ø▲❞ ➒❱✹✙Ø✷➨ä➜Ï➃➛➤➨❢Ø❸✡(♣❞➫✸❱✹✙❦❵✛). 9
现状，20O5年，M.Bhargava与Jonathan P.Hankei证明了（发表在著名数 学期刊：Inventiones Mathematicae) CS之290-猜想(1)整系数二次型能够表示所有正整数←→它能够表 示1,2,3,5,6,7,10,13,14,15,17,19,21,22,23,26,29,30,31,34,35,37， 42,58,93,110,145,203,290.进一步，存在二次型可以表示除这29个整数 中的一个外的所有正整数 (2)整系数二次型能够表示所有素数←→它能够表示 {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,67,73} (③)整系数二次型能够表示所有奇数←→它能够表示 {1,3,5,7,11,15,33} 10
②●➜2005❝➜M.Bhargava❺Jonathan P.Hanke②➨✡(✉▲✸❮➯ê ➷Ïr➭Inventiones Mathematicae) CS❷290-ß➂ (1)✒❳ê✓❣✳❯✡▲➠↕❦✔✒ê ⇐⇒ ➜❯✡▲ ➠1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 34, 35, 37, 42, 58, 93, 110, 145, 203, 290. ❄➌Ú➜⑧✸✓❣✳➀➧▲➠Øù29❻✒ê ➙✛➌❻✠✛↕❦✔✒ê. (2)✒❳ê✓❣✳❯✡▲➠↕❦❷ê ⇐⇒ ➜❯✡▲➠ {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 67, 73} (3)✒❳ê✓❣✳❯✡▲➠↕❦Ûê ⇐⇒ ➜❯✡▲➠ {1, 3, 5, 7, 11, 15, 33}. 10