【28］第二章一个实变数的向盘函数:f(t)ES(f(t))，则称f()在是连续的或等价地，若(2.8)limf(t)-f(to)则f（t）在是连续的，若函数f（）对I上每一点都连续，则称函数f（t）在I上连续从定理2.8推出，f（t）连续的必要充分条件是它的分量（t），4-1,2,3是连续的.从[丑至[丑]也可以得出连续函数的和、积，数量积和向量积都是连续的，连续函数的复合函数也是连续的.最后，我们注意（2.8）等价于lim(f(t)-f())=0若令—to，则lim(f(to+h)-f(to))-0例2.163设f(t)-+b+c，a,bc是常向量，则limf(t)-lim(a+bt-+cta)=a+bto-+,c-f(to).t.ot.因此于()对所有连续irt-1e1+fez,t吨1,则于()对所有t连续。因为例 2.171设f(t)I2ei+es, t-0,当+,lim f()-lim(-1了e+e-f(t)当to-1,2lim f(t) -- linei+te-lim((t-+-1)et+e)-2ei+ea-f(1)t1→12.t91例2.18例2.11的函数[tei+e, to,f(t)eato对所有的t*0是连续的，但=0除外，因为此时极限不存在。8.微分若极限f(to) ~lim f(t)-f(to)(2.9)31t-to存在，那末这极限称为f()在t=t的导数，并且称f()在可微。注意，若以t一十4代入上式，则得f(0) - lim f(to+ 4)=f(to)(2.10)4tA-D例2.19设f（t）a+b+，其中a，b，c是常向量，则f(to+ t)-f(to)f'(to)=lim.4t4t--0-lim [a+b(to+ 4t) +e(to+ 4t)j -(a+bto+ ct)4&t -0
琴2.1禁本内容【29]b4t+2ct04t-+c(4)2=lim(b+2ct0+c4t)-6+2ct0ne Jim4tA于是f（t）在t和是可微的，且导数f（to）b+2cto若f(t）fi(t)ei+fa(t)e+fs(t)ex，从定理2.8得到F'(to) lim f(0) -f(to)t-to1-tye1+f(0)-fa(to2 ea+ fe(0)-fo(t). im[_fi(t) fi(to)-tot-tot-to→tol+[1im fe(t)-Ja(t2 1[1im ft(t)-fa(to)]ea-etot-to/Lt-t.+[im fa(t)-fa(to2 les-fi(to)er+(to)eg+fu(to)es,)t-to于是我们有定理2.5函数f(t)f1(t)ei+f(t)ea+fs(t)es在to是可微的必要充分条件是每一个分量ft)，1,28在t是可微的，并且f(to）一f(始)e1+fs(to)ea+fs（)e3.若f（）在区间工上是可微的，则于（）也是区间上的向量函数，它也可能是可微的这就得到了f（）的二阶导数，用于"（）表示，更高阶的导数可类似地定义，若u一f（t），它的导数象数量函数一样可记作：st'du.d(du）d'u--f'(), u"--f"(),等等.dtdt例2.20若u-(t+2t)er+(sint)e+ee3)HU一%(#+20)e1+dd(eyes则(sint)ea+dtdtdsa-(3+2)e+(cot)eg+eeddu"其(d)1-d(8#+2)e1 +(cost)e:.at（()dttsCter-(sin t)e-+ees.u"=d(du)d(68)e1dd+(ef)es(sint)e2dtatdtdt=6ei--(cost)enfefesx例2.21aa(cost)e1+u(sint)ea画出中心在原点半径是6的圆，如图2-10所示，导数"-a(sint)e1+a(cost)es.ct因为·α=0，故切向量在处利圆相切，且与正交，阿量函数的许多性质与数量函数的性质类似例如，在问题2.26中我们证明，2-10定理2.8如果（）在品可微，则于（t）在连续
1801第二章一个实变数的向量函数9.微分公式若u、h是I上t的可微函数，则就十在！上可微，并且ddutdy(u+v)dtdtat[Ja]在工上可微，并耳d.h.(u) =hdu-ndtdtdt·V在I上可微，并且(Ja]fhuddy(u.v)-.01dtdtdt[J.摄×在I上可微，并所d.deda(XV)=XUudtdtdi最后还有链法购赠：.[J]若u=f(t)，在I，上可微，且=h()在I，上可微，其中像h(I)cI，则u9(6)-f(h(9))在I，上可微，并且dudu dt设-a(cost)e1-a(sint)e,d (1+t), t>0, 测例2.2du_dudtdu/ao-(-a(sin t)e1-a(cost)e2)/E(1+t)-)菇路d=(a/t)(1+)(sint)er+(oost)es),dg*0，则其中我们使用了“若数量函数8一h(t)且一1/(d8/dt)"这--结论dtaddaufiduiad (du)+ du,du(a.)例2.28-u.4]（)dt?i dt!dtdt例2.24ul=d(+x)ddt&(de.( dux deua-×du)+dud（味(*)+()+(duxdu[ududu]t3-婚最后，若是常模的询量函数，即u一常量，则常量，微分后得到u.du+ du.u-0或u些,正交。特别我们有=0，因此u与ddtdtdu定理3.7若u是单位向量函数，则9垂直于。这个定理很重要，经常会第到。dt
2.1基本内容［1110.Cm类函数一般地，我们要求函数至少-阶可微，但时常也要求二阶甚至更高阶可微，我们也要知道使某个结果成立的函数的最大类，若数量函数f或向量函数f在区间I上有m阶连续导数，则称f或f在区间I上属于C"类，用°表示连续数类，用O表示有任意阶连续导数的函数类因为向量函数连续或者可导的必要充分条件是它的分量函数连续或者可导，于是我们就有定理2.8向量函数f(t)-fi(t)er+f(t)ea+fa(t)ea在I上属于"类的必要充分条件是它的分量函数f1(t)，fa(t)，fa()在I上属于O"类.注意，因可微函数是连续的，对于所有j<m，若函数属于"，则它也属于α类，例2.2研究向量函数f(t）=e1+（sin）eg+8/3es-<t<，这时f）-Bte1+(cost)e+(8/3)t0/3esf"(t)6te1-(sint)ea+(40/9)t2/e3f'(t),f"(t)对所有t是连续的，但是，f"(t)=6e1-(cost)e2+(80/27)t-1/3es在0不存在，因为t1/s是分母，所以f(t)在8<<上是类不是类，在任意一个不含原点的区间，f有任意阶的连续导数，因此在这样的区间内了属于0类以下是微分公式[J]至[]的推论定理2.9若f，g，h在上属于Cm炎，则码，f+9，fg，f×g在I上属于m类定理2.10若f(t)在I上属于C*类，Q)在I上属于α类，其中(I)二I，则复合函数（Q）=f（t）在I上属于"类，换言之，m类丽数的m类菌数是αm类函数.11.泰勒公式设()是I上的Q"类函数，则(Taylor公式)对I上任意和t,() -f(t0)+(0) (6-(m)(to)-toi(t-to)n+Rm(t,to),1m!其中余项Rm(t，to)具有性质：当 t→to 时, B() =0.(-t)显然，应用向量函数子（）的分量公式，可以得到定理2.11Taylor公式。设f(t)在I上属于Cm类，在I上对每-个t和to() ()+(t0()+.- + f(m)((t to)"+R(6, t0)1m!Ra(b, to) -s0.其中当时，（t-t0)"例2.26如果f(t)(cost)e1+(sint)ea,刚f(0)ei,f'(0)-ea,f"(0)--ef"(0)一e2，f(4)(0)e1因此在to=0附近，我们有(cost)ei+(sint)e2=e1+eat--(e-/21)=(en/31)+(er/41)+Ra(t),其中当->0时，R（)/钟-0
132第二章一个实变数的向避函效使用Landau记号o和O来研究函数在一点邻近的性质是比较方便的，即是，设数量两效9（t）在的某~个去心邻域中异零，当t一→时，f（t）/g（t）→0,则称数量或向最面数f(t)为g(t)在to的小oh"，记作f(t)=o(g(t)).著f(t)/g(t)在to有界，则称数量或间量函数f（t）为g(在t的"大On"，记作f（t）一(g（））例2.27使f(t）a#+bt+cu，a,b,c是常向盘，则在t=0,f(t)=0(均），因为Jimf(t)/lim(at+bt+c)0注意，f(t)=0(t)，但对整数n>8时，f(t)十o(切）例2.28设f(t)=(sinat)ei+(+)e2+es，则f(t)=0(t)因为 limif(t)/e-mlim[sint er+(1+t)es+es}-et+e2,即极限存在,因而f(t) /ts.10有界，于是f()-0()，注意，当t-→0时，f()/->0所以也有f()=0(t)，但0()是最好的估计，因为当-0时，对α>2，f（)/！001例2.29设f(t）在I上是C"类，在to应用Taylor公式就得到(t)-f(t)+(+-)+ )(-f)"+oe(-to)] .1m!12.解析函数设f(t)在I上是C类，则对每一个m和I上所有t利ta有() - (t)+ f(t)(--t) ..+ fm)(to)(t -to)n+ R(t, to). )m!著又有limR（t，to）0，刚f（t)在I上可以展成暴级数fm(co) (t-to)nf(t)-n!在这样的情况下，则称f（t）是I上的解析函数，或者，更一般地，如果对I中每一个存在一个邻域S.（to），使得f(t)能展成收敛的幕级数f(t) -Sa.(t--ton则称(t)为I上的解析函数，在上的解析函数类，用O4表示例2.30说明，类函数不一定是解析函数，但是，任一幂级数表示的函数在收敛区间的内部是可微的，并且微商是由原来的幕级数逐项微商得到，于是每一个解析函数是类，而且f()(t)=am!.从对幂级数的和、积、替换定理得到解析函数的和、积、数积和向量积仍是解析的，同时任一解析函数的解析函数也是解析函数例2.30函数f(t)e-1/"对所有t毫0连续，若我们定义f(0)-0,则f(t)对所有t,o<t十+o连续，并且事实上是属0类但是(t)在任一包含t=0的区间不是解析的，因为可以证明f(0）=0,f(0)=0,于"(0）=0等等，要使f(t)在某一个S。（0)中对所有ES(O)有收敛于零的筹级数，这是不可能的，因为f(t)在任意一个Sa（0)中不恒为零最后，注意多项式，有理函数，三角函数和指数函数等初等函数在它连续的区间上是解析的，并且这些函数的反函数在任一可导的区间上也是解析的