152.1..基本内容28）若a、b，c是平面上的不共线点，则b一，c一是平行这个乎面的线性无关的向量，（6-a）×（c一a）是垂直于这个平面的非零向量，如图2-1所示1从方程（2.5)得到通过a,b,c的平面方程为(b-a)x(c-a)[(α-a)(b-a)(c-a)] =0.(2.7)例2.8通过a-e,平行于1-etv--ei十ea的平面的参数方程为a一hu++a=（h一）e1+e+ken或-h-k,l,-k图2-1这个平面也可写成1./u1-10-10[(α-a)uv] -det0或g-1-0Wg1/0Loa2.邻域用球形邻域的概念来描述函数的局部性质是比较方便的。向景α的-开球或8-球形邻域，记作S（a），它就是满足一<s的点a的集合，如图2-2所示，点a在(a)中的必要充分条件是在以α为心为半径的球的内部，在中，sα)悬以为心为半径的圆的内部；在F1中，8.(a)是以为中心长为2e的开区间的内部，如图2-8所示。图2-2：图2-3用除去a自已的a的球形邻域来讨论也是方便的，这个除去a的集合sα）称为的-去心球形邻域，用S(a)表示，因为α一a一0的必要充分条件是a，所以S(a）由满足0<a一a8的向量组成1例2.4向量a-e1+2eg+8e:的球形邻域，即S（et+2e2+Bes），它由满足10Y0[a-a|-[(ar-1)2+(g-2)*+(ag-8)<l101御(-1)+(g—2)+(g—8)2100.的向量ie+ea+se组成1111例2.5 在中,S1(5)是满足1-5[<或5-8<5+的数组成100.1001001001的集合，注意S1是以5为中心长为一的开区间的内部，503.向量菌数若对每-个实数tESCR(实数)，对应着个向量f(t)，则它在S中定义了一个实变
?243，第二章个实变数的向盘函数数的询量哪数，如同数量函数一样，“称为于的定义域，所对应的向量的全体称为了的像11.2用f(S)表示例2.6，设a、b.c是空间固定的向量，方程tf()-a-2b6+c,2≤t≤2定义一个区简一2≤2上的向量函数，所对应的一些向量列表媚下！t-2-1012f(t)a+4b+4caa-2b+ca-+知a+2b+c例2.7在例2.6.中设a=1-+2es,b=e2-ea,=e1-es，则f(t)-(ei+2e:)-2t(ea-e)+t(er--es)(1+t)e+(2--2t)e2+(2t-+)es.这里是用三个数量函数f1（t）-1十，J2（）=2-20，fs（t）=2t一只表示。这三个数量函数是f对于(e1,ea,es)的分量法正如上面例子所指出的，()唯一确定三个数量函数f（)、f(t)、于(）：这三个数量菌数是子(对手基(ei,es，es)的分量：反之，三个在公共区域S上定义的数量函数fi(t),.（)，f)唯一确定一个在S上的向量丽数f(t)mpia-sft)Lfi(t)ei+f(t)ea+fa(t)es)它对(er,ea,ea)的分量是fi,fa,fs.向量函数可用来确定曲线设=f(t），则当t变化时，点&描出一条曲线，如图2-4所示，方程ac一f(t)或三个数量方程-f1(t)，a-fa(t)，s-fa(）称为曲线的参数方程称为参数f(t)图2-5图24例2.8方程-α(cost)ei+a(sint)eg，或=acost，=asint，a>0,0<t2x是中心在原点半径为α的國的参数方程当在区间02元上增加时，点&依逆附针方向出一个圆如图2-5所示，，在多数情说下，我们假设所讨论的函数是定义在区间上，这些区间可以是有限开或闭区间，即或，有限半开区间或和无限区间，如一108，8，等等4.有界函数：若存在数M>0，对区间I上所有，有If(t)|<M，则称函数f()在I上是有界的
签2.1.本内客【弱］注意在图2-6中，若一（），则f（)在工上有界的必要充分条件是存在-个中心在原点半径为M的球，使对所有tEI，点在这个球中，5运a,E艺A图.2-7图 2-6号中描出曲线atei+(tant)ee.注意当t接例2.9如图2-7所示，在一人22Fe上，是无界的，可是，对任意8>0，在近号时，α趋于无限大。这样，在一22贵十8号8上a是有界的，因为对这些，有atei+（tan)eti[e区间一22-8+tan(）+{ tan t||e2| ja| +[tan t] M,其中 M号2若存在一个s>0，使得到tES。(),f(t)是有界的，则称函数f()在舌一却是有界的它等价于：若存在一个M>0和8>0，使当一l<8时，有f(t)≤M，则f()在是有界的，明显地，若f)在区间工上有定义，且是有界的，则f（t)对工上每一是有界的，但其r人逆不真，如上面的例子中，（）在一中的每一个却都有界，但（）在这个区间上22无界.5.极限若对每个>0都可找到一个80依赖于8)使得当ES（0）时，就有f（t)ES（L）则称向量函数f(t)当t趋近to时有极限L，记作lmf（)L或当->to时f(t)→L.注意，在图2-8中，当时，αf()L的必要充分条件是对每一个中心在L的开球S（L)，能够找到一个去心开球tg-8tt8S%(to),使当tESs(to)时，就有aES(L),注意，在o的极限存在是函数的局部性质，它仅与函数在却的去心邻域中的性质图 2-8有关，而且(t)在t不一定有定义，例如，函数的定义域可以是开区间甜例2.10.设了(t)=a=常向量，则对任意to，imf(t)=a,因为对所有t()=a,在每个S(a)中，因而对所有的任意tES(to），f(t)在每个S(a)中例2.11函数
【28］第二章一个实变数的向最随数fteitea, tzua=f(t)--l tet-e, t<o,J1, t=1,或ai-fi(t) t, agfa(t) -1, t<0如图2-9所示，当t>0时，函数没有极限，因为任一个点L，有一个邻域S（L)，它不同时和两直线g-1，g-1，都相交（例如，(1,t>DS，(0,1)不包含直线4g=一1上的点），对这些1, <0 t开球S(L)不存在8>0，使当0<<8时，T,=1点α-f(t)ES(L)，因为L是任意的，所以没有极限另一方面，函数在任意≠0有极限，11t-81+8例如，当量极限是量etes我们知道数量函数当t→>t时，9()->0m意味着对每一个8>0，存在个80，使得当ES（to）附|g(t)<8。若令图2-9g(t) =(ft(t)-Lt,刻1g()] -[(t) -L]<8,当且仅当（)ES。L)，于是得到下面重要定理定理2.1当→时f()-L的必要充分条件是当t-o时，1F(t)-L->0例2.12证明lim(te1-(t+)e2)et--2e2证：lim|f(t)--Ll- lim / (c—1)e-(t--1)eal-lim[(-1)+(-1)2-01n最后，设当→to时f()->L，则对任意s>0，存在>0使当ES%(t0）时就有「(t)-L≤8.因此对ES(to),[F()I-F(t)-L+L≤F()-LI+[LI≤M,其中Mmax（e，f（to）-LI)+[Ll.于是我们有定理2.2若f(t)在t=t有定义，且当t>to时有极限，测f(t)在有界。6.极限的性质设imf()-，1,2,则lim[fi(t)er+fs(t)eu+fs(t)ea]Lier+Jges+Lges因为，设f(t)fi(t)et+f2(t)e+f(t)e和LLiei+Lgea+Lges,则lim f(t)-L)-lml(fi(t)ei+fa(t)eg+fa(t)es)--(Liei+Lgea-+Lges)l-him[(f1(t)-L1)2+(f2(t)-L2)+(fs(t)-Ls)=0.上面定理的逆定理也是成立的，即定理2.3函数f(t)-f1(t)et+f2(t)ea+fs(t)ea当t-→to时有极限的必要充分条件是
$2.1基本内容【27]f（)，一12，8，当—→o时有极限，并limf(t)-(limfi(t))ei+(limfa(t))eg+(limfs(t))est-fat→ta例2.13lim((sint)er+(cost)eg+te3)2-(lim sint)er+(limcost)ea+(limt)es-es.-0-0例2.14设f(t)一e1+tez，则f(2+h)-f(2) lim ((2+h)*ei+(2+h)ea)-(4et+2e,)limhhh~01.-0[ ((2+h)2-4)ei + he2-lim4eitegh0Lh.现在假设当→时，(t)>，则当-→to时f(t)1>L]为证明这一点，设(t)fi(t)ei+fa(t)ea+fs(t)e和L-Lner+Lges+Lies,Hm1()=im()+(t)+（(t)t-to[(lim fi(t)+(limfa(t)*+(limfs(b))[L+ L+L]=L].注意，上面定理的逆命题不一定成立，例如，在例2.11，中，当t=0时，f(t)有极限但（)不存在极限我们把上面的结果叙述为：定理2.4当t→to时，f(t)→L，则当-→to时f()/→Ll.最后，我们设limf(t）=L，limg(t)-M和limh（t)=N，刚[,]lim(f(t)+g(t))-limf(t)+limg(t)-L+M[H,]lim(h(t)g(t))-limh(t)lim g(t)-NM-tt-toL[H,]若N+0,则lim(f(t)/h()）-limf(t)/limh(t)-N[H,]lim(f(t)-g(t))-limf(t)-limg(t) --L.M;[H,]Jim(f(t)×g(t))=limf(t) ×limg(t)=LxM;t.at.tf[H]若limf(t)f(to)和 limh(0)to,则limf(h())=f(limh(0))-f(to)例2.16设limf(t)-L,limg(t)-M,limh(t)N刻lim[f(t)g(t)h(t)/-limLf(t)-9(t)×h(t))-t,-limf(t)·lim[g(t)xh(t))-lim f(t) .lim g(t) ×lim h(t) -- [LMN1.→tt7.连续向量函数f）在有定义，若对任意8>0存在-个8>0，使当tES（t），就有