82.8问题及其解答33$2.2.问题及其解答1.直线和平面2.1求→个单位向量，使它垂直于P(0,1,1)，Q(1,0，一1)，B(1，一1，0)所决定的平面S.111e1PQXPR解：PQ×PR-3et--0垂直于，月-12ePQXPRT-2-1ea土（1/V五)（3ei+ea+ea）是垂直于S的单位向量2.2求通过4(1,-1,2)平行于ag轴的直线方程解：设X=0P，a-0A，则P在直线上的必要充分条件是AP-(X-a)-he或(ai--1)e1+(ag+1)eg+(as-2)es-kes即ai-1, 4g--, ag=h+2（-(-00<h<00)2.3设≥0，n=mei+nea+nge是单位向量，证明n11十2十mgg-d是平面S的方程，d是从原点到平面S.的距离，n是从原点出发的单位法向量，1证：设2是S上的任一点，期m1+mg+g3=nmcos(n-)=d=0推出c08zn1）或0≤（n·）≤元/2.n是从原点指向S，如图2-11所示.从原点到S的距离是iP(a)i-n.ai/nl-in.a|[a]d,图2-112-12图2.4导出中心在a半径为的球面方程，解：la-ar或(a-a).(a-a)r22.5设α是直圆锥的项点，n是它的辅线方向上的单位向量，半角0=aro00g，>0,证明锥面的方程为1X[(α-a).n]-(α-a)(a-a) -o证：如图2-12所示，落在锥面上的必要充分条件是（a一0，充）=6或（=9），即必要充分条件为co9之（-a，n）=cos=，即（α一anha-a|乎方得aa).n)"(a).（aa），这就是所要的结果2.6设（u1，u，n)是F中的任意基，O是E3中的固定点，又设P的坐标(，a，s)由向斑
【34]第二章个实变数的向量函数oP-ui+au+wgus的分量确定，用这样方法建立坐标系称为仿射坐标系，证明在仿射坐标系中二点P（a1，a)s）和Q(91，a，s）间距离的平方是[PQ|2-g11(a1-91)+g(ai-1)(ag9a)+ga(1-y1)(g—ya)+ga(g-ya)(a-y1)+gaa(g—9a）2+g(g-ya)(g-ya)+ga(ag-ys)(a1-y1)+gaa(ama-)(a-9a)+ysa(aa-s)2,简写为JPQ2-≥g(a-)()，，j-1,2，3其中gu满足（)gu=gm(6)det(gu)>0证：PQjQP2-|0P-0Q-|α-[2(α-y)(α-)[(-l[(y]-(.)(-(,-),即Q-zg-)(-9）其中 gu-uou, i, j1, 2, 3.明显地（a）guuuj-u;-gs，4，j-1,2,3.由间题1.58还知uI.uiui-2r-ug(b)det(gu)det-[]">0.Ug·Urg'uy g'u.g·士g· a·us2.函数2.7对一4和4之间的整数，计算向量元=ei+(1-t)e，并用的端点画出曲线的草图t2..+++-41621-+5e2-39211-40g(16, 5)(9,4)-24e1+-3e2(4, 3)-101+2g05e?(9; -2)1ei2(16, 3)4ei-eg39e1~2e941601~322图 2-132.8.设f(t)-(1+t*)e+(2t--t)eg+tes,.g(t)=(1+)e1+te2,h(t)=(2t-1).求(a) h(2)((1) +g( - 1)), (b) lg(2)l, (o) f(a)·g (b), (d) f(t) × g(t).e) g(2u-6), (f) f(to+4t)-f(to), (g) f(h(t))解(a)h(2)(f(1)+g(1))=(3)[(281+eg+ea)+(2e1-e)}12e1+3e(b) [g(2) / -[5e1+8e2|/89;(0) f(a)g(b)[(1+a)ei+(2a-)es+aesl [(1+b)ei+e](1+a)(1 +6) +(2a-a)
182.8问题及其解答【】(1+)(1+))ert3(a) f(t) xg(t)=deres(2t-t*)test0-i+（+)eg+(+#-+-2）ea(e) g(2a-6) (1+(20--6)*e1+(2a--b)e:(f)f(to+4t)-f(to)[1+(to+4t)ei+[2(to+4t)-(to+4)e+(to+4t)ea(1+t)e-(2to-)e2-toe3(34+3to4t+4t)e+(24t2t04t-4)e+tes(g)f(h(t))-f(2t-1)=(1+(2t-1)3)e1+(2(2t-1)-(2t-1)*e+(2t-1)es-(8t3-12+6t)e1+(-4t+8t-3)eg+(2t-1)es.2.9证明曲线a(-1+gin2tcosBt)et+(2+sin2tsint)ea+(8+cos2t)es落在中心在a=-e1+2eg-3eg半径为1的球面上证:[X-a|-/(sin 2t cos 3t)e1+(sin 2t sin&t)eg+(coa2t)es!(sini2t cos*3t+gin*2t sin*8t+c0s*2t)1/9-(sin2t+c0s2t)1/21本题证毕，2.10证明曲线X=(-2+sint)er+(t+2)e-+(t-1+2sint)es落在通过a=ea+2e:垂直于N-2e1+e2-e:的平面上证：(X-a).N-[(-2+sint)ei+(+1)e+(-3+2sint)ea].[2e1+eg-es] -0,由此得到X落在通过a且垂直于N的平面上.2.11 设a-e1-2e.+es, b-2e1-3ea+es,(a）证明b是在Ss(a)中，(b)求一个8>0使得S(b)s(a)，(o)求e和8，使得S(a)和S.(6)相分离证：(a）因为lb-a)-/2<8,故b在Sa(a)中、(b)设88-6-a[m8/2若×属于S(6),即X-|<8,则X-aX-6+6-0/×-61+16-a/<8+V2<3-2+V2-8即|X-al<8,X在Ss(a中)。因为S(b)中任一X都在Sa(a)中，故Sa(6)Sa(a),见图2-14吾16-a)≤/2 /2,则S。(a)和S. (b)是分离的。因为假者不是，即()设1-≤号-V22848-22图2-14
二部」第二案一个实变数的向量函数设 Y在 8.(a)和 S.(b)中,则|Y-a)<和[Y-bl<V2但是V26-a|-|6-Y-Y-a≤-6l+iY-a</2/2+V2/2,这是不可能的，故Sa(a）和S.(b)是分离的2.12证明，对所有tES1/10(1)，点P(一t，2t)落在S1/3(1,-1,2)中。证：若tESino(I)，则t-1<1/10即(t-1)<100，月(8+1)-((t-1)+2)*-(-1)2+4(t-1)+4≤(—1)3+4±-1/+4≤(100)+(10)+4≤5,因为P(，一t,2t)与(1,→1,2)之间的距离是[(t2-1)*+(-t+1)*+(2t-2)91/2-[($+1)*(t-1)"+(+-1)*+4($-1)1/9≤[(5/100)+(1/100)+（4/100)7)/2≤1/V10所以,对所有tES1/10(1)，PES1/3(1，-1,2)2.13求8>0使得对所有tES(1)，向量Xe1-te+2tea在S/100(e1-e+2ea)中.解：设a=ei-e2+2e3,则[α-a|-|(t-1)e1-(t-1)en+(2-2)esl<2-1|[e|-t-1]|e+[28--2]|es]≤[++6]+2-≤(+1|+3)-|t-1)(t--1+2 +3)≤[t-1+-1/+6)设-1，若1<1/600，则-1[-6<1/100，这样若—11/6007铆若t在S(1)中，其中-,则t--1<1,α-a|≤[±-1(1t-1+5)≤[t-11.6<6001-(1/600)-6-即ac在S1/100(a)中，这就是所要的结果，1003.极限和连续2.14计算lim[(82+1)e1-ea+es]1-2：lim[(3+1)er-e+e](lim(3+1))eif-.-(limt)en+(lim1)e-13e1--8ea+es.-2-2.15设于(t)(sint)er+tea, g(t)-(+-1)e1+etee)求 (a) lim(f(t)-g(t)), (b) lim(f(t)×g(t)).解：(a)lim(f(t)·g(t))-limf(t)limg(s)=lim((sint)er+tes).lim((+1)er+e'e)0.(ei+ea)o,t-f(b)lim(f(t)×g(t))=limf()×limg(o)
$2.2题及其解答【87]lim((sint)ei+tes) × lim[(t+1)er+eea] -0x(er+eg) -02.18 在t-0 定义函数于(n)一e1+(cogt)es, 使于()在±-0 是连续的。t解: limf(t)lim(sinzer+(cost)e)ei+e这样若定义f(0)ei+e则0imf(t)-f(0).-0f(t)在t0是连续的2.17证明：若f(t)-g(t)和h(t)在to是连续的，则Ef(t)g(t)h(t))在o是连续的证：由所设limf(t)-f(to)，limg(t)=g(to),limh(t)-h(to),从例2.15得到lim[f(t)g(t)h(t)]=Ef(to)g(to)h(to)],因此[f(t)g(t)h(t))在to连续。2.18用极限的定义证明lim(tei+(t+1)ea)=ei+2e证：设f(t)ei+（t+1)en,L=ér+2en，考惠[f(t)-L|-[(--1)ei+(t-1)ea]<[-1]/e| +[t-1/[ea]≤[-1]++1]+[6-1]≤/—1(—1}+2+1)-[t-1/([6—1 +8),如果我们取[6-1]<1，则当[6-1]≤量时，可得-1f(t)-L/≤/t--1/4<8.这样，任给一个8>0,可以找到一个8=min(1，),则如果[6-1] <8, 即 t 在 S:(1)中，就有|11和量,对这些6, [5(0)-L]≤[5-1](16-1[+3)<[6—114≤8;即f()在S。(L)中，这就是所要的结果2.19若f(t)在有界,且当→to时，g()-→0,证明当->时f()×g(t)-0.证：设任意8>0，因为f（)在却是有界的，故存在M>0和8>0，使得对所有0<-o]<8,f()/M.又因为当时g(t)->0,故存在8>0使得对0<[—t02,1g()<8/.选取8=min(81),则对0<<8就有0<-<8和0<-0<82，因此[f(t)×g(t)-0/ [f(t)×g(t)[-/f()//g(t)[sin(+g))<[f(t)1g(t)J<M(8/M) -g这样，当→to时，f(t）×g（t)-→02.20若当 t→to时，f(t)-L,g()-→M，证明当-→to时，f(t)×9()→L×M,：设任意8>0，因为当时，g(t)→M，故存在8>0使得当0<to<81g(t)-M<e/(2|L/),又g(t)在t有界，故存在8>0和K>0使得当0</-t<8,讨，g（)K，最后，因为当t->to时，f（t)-L，故存在83>0使得当0之一t<%时，1(t)-L≤8/2K，这样，如果0≤—01<8-min(8182,83)就有0ol<010<80<[t-o<8，所以: