[18]第一章向最1.29正明(a)ax(b+c)axb+axc,(b)(ha)xb=(axb).证：设a-arer+agea+ages,b-biet+baeg}-bae,c-cei+ce+ges.(a)ax(+c)-[(b+s)-(b+c)]e1+[(+)-1(bg+c)]e+[α(b+0)-(b1+01)leg=-(b-agba)e1+(ab1-1bs)eg+(bg-b1)eg+(aCa-agcaei+(ag01-a10s)e+(aicg-a01)es=axb+axc.(b)(ha)xb=(kagba-hasba)ei+(hasb1-kaibs)eg+(haba-hab:)eghE(aab-agb,)er+(asbi-aubs)ea+(aba-azbi)ea)h(axb).1.30证明[a×6]"-|a]|62-[-6|"证设+e+利-b1e+be+bselaxb]2(xb)-(ax)[(abs-aba)er+(cplugib)eg+(abg-ab1)eal[(g-b2)e1+(1-b)e+(bg-b1)es](agbagba)+(b1-01ba)2+(abg-b1)s++++码-2b2g-21a3-21ajajajbjar-la.bjp (a-a)(b.b)-(a.b)(a.b)（+呢+）（++）-（++）+++++-2-2-2a2baagbs,比较上面的式子即得所需要的恒等式。1.31证明定理1.5(i)jaxbajjbsing,6-Z(a,b)(ii)a.(axb)la和(axb)lb;1b.若（ox幼o（a，b，axb）和（e1，en，es)有相同的定向。证：（）由前一个间题，[x12216|2-a.62a1210/8-a|26]200s201c08s[6sin)因为对，有sino故axasin(ii）a.设aarer+ageg+ases和bbrei+bgea+baea(axb).a-[(anba-agba)ei+(agbi-aibs)eg+(aiba-asbi)e].(aier+agea+ases)=agbagba+ab1-gbg+bgabgaggb10类似越，（axb).b0.因此（axb）la且（axb)bb.（a,b,axb)的分量行列式是aibr(anbs-agba)bga(asbt-anba)()(-b)+（)bs3(1ba-61)1-axbjat.9若axbo则axb>0且abaxb和eeaies)有相同的定向1.82证明向量积的定义与基底无关，证：设c和c是α和b对于两个不同的右手系标准正交基的向量积。我们可以假定a和b线性无关，否卿由定理.6,c干c=0.由定理1.5(i)，（，b,c)是基，故c+
21.3补充酒[19]Sb+yc.同样由定理1.5(i),a+c=αaj+B(a.b)-0且b.c=α(b.a)+B[列=t0.因为和线性无关，放a=a0因此α-0，且cc，因为a,6c）和(，b,c)两者都是右手系的，故>0.由定理1.5(i)，c=c=c，于基=1，便有c-c,10.混合积1.83设a-e+2eg-es,b-en+2es,求a.bxc-ei+e2, C-解：101-12a.bxcr1102]1.3证明a.bxc=ax6.c证：设a-arei-tae2+aeb-bei+beg-+bes,c-oier+cen+Cses, 则a161b1171CianCiciiha.bea.bxc62'anCaCHCaCcta6abgba(3C:CsCsC.-e.axb-axb.c.1.35证明定理1.8ax(6xc)-（a.c)b-(a.b)c证：设aaier+aeg+ages,b-brei+ben+bges,C-er+ceg+Ces,则ax(bxe)-(arei+e+aes)x[(baca-bse)ei+(b9c1-csbr)e+(b1ca-bao1)e)3=(agb1ce-azbac1-agbac1 + asb10g)e1+(asb20:--aabaog-aib10.+aibac1)eg+(absci-aib10g-asb2g+a2bgca)es于是，和上式作比较有(a.c)b(-b)c-(a101+a20g+aa0a)(be+bebes).L(ab1-+agba+aabs)(cie1+cge+ces)3(ab1cg+agb1cga201bg(gcibi)e1+(baa1c1+baagos-C2a1bCgagba)ea+(bgc1ci+pa:cCgaeb,)eC1"=ax(oxc).SAA$1.3"补充题1.86如图1-18所示的四面体0PQR中，设a-0Pb=0Q，c-0R，且设M是边H1hRQ的中点，试用a,b，c表示PM.答案：PM一P221.37设a-2u1+a-Bua,6-2g十us，c--u+2e试用u1u,3表8a2b+c，答案：Bu+9u2-12ua.1.38证明a6++c1.39证明四边形两对对应边中点连线的中点重合1.40证明三角形的角平分线交于点图1-18
量[20]第登向1.41证明三角形的中线交于一点1.42证明线性无关的间量的集合的子集是线性无关的，1.43证明E?中两个线性无关的向量构成E的一个基，1.44证明E2中三个或多于三个的向量线性相关1.45证明：若a，是a，b,c对应于某一基的分量，则)ab当且仅当l（）c-a+b当仅当c-+bu（i）b-a当且仅当bkai1.46没u1ug，us是基，试确定a=u1-2ug十u3,b-ug-uac-2u1-ug+5us是否线性无关，答案：是I.47设ui,g,us是基,设V-u+ug-s,V-u+2ug-ua,V-2u+us,证明Vi,V2,Vs是基，并求a-2u1-s在Vi,V2，V上的分量，答案：--2V+,--Va,u2-3V-V2+2Vs,ua=4V1-2V,+3Vs,a--8V1+4Vg-5Vs.1.48 设a-ei+eg-2es 和b=e1-eg+es,求(a) a-b, (b)[al, (o)cos(a, b),(d) P, (a), (e) Pu(b).答案：(a)-4,(b)~/6，(o)-4/(3V2),(d)-4//3(0)-(4/8)(e1-eg+e3).1.49求向量a=2e1+eg-8e的方向余弦，答案：2/V14,1/V14，-3//141.50求a，使a=re+eg-e和b=2ei-ae+ea是正交的，答案：=11.51分解a[-（+）(a6）+B861的因子，答案：（aa-Bb）·（a-8b)1.52设a=e1+eg-eg和bei+2ea-2es,求向量c，使a,b,c组成一个直角三角形的边，答案：c±(2e+-eg+e).1.58证明g1-(1/3)(2e1-2e2+es)，gg=(1/3)(et+2eg+2e3)和gs=(1/3)(2e1+eg一2eu)构成个标准正交基，并用(01,g2,9a)表出(ei,e2,es)。答案：ei-(1/s)-(2g1+92+2gs),-(1/3)(-2g1+29,+0),e-(1/3)(91+29z-29s)1.54证明平行四边形各边的平方和等于它的对角线的乎方和。1.55 若a-ei-2es+8es, b--2ei--ea-ea和 cea+es, 求 (a) a x b, (b)bxa,(o)a.bxc-[abcl,(d)ax(bxc).答案：(a)5er+Tea+Ses,(b)-5ei-7e-Bes,(o)10, (d)2e1-2eg-2es.1.56求和a-ei+eg-es及b=-e1-2eg+e正交的单位向量，答案：±1//2）X(ei+es).1.求点P到平面S的距离d,其中a=0P-et+eg-es是从S上的0点到P点的向量，且b--ei+ea和ce-a在s上答案：d=Pxe(a)lIur.V+rVau.Vs1.58证明：[uus][VV,Va]-|ug.VuY.Vug.Vug.V, us.V.1.69证明：(axb).(cxd)+(bxc).(axd)+(cxa)-(bxd)-0.1.60证明：[(axb)(cxd)(exf)}[abd][cef]--[abc][def].1.61证明：若a和b所在的平面垂直于包含c和d的平面，卿(axb)-(cxd)0,1.62设（1，，）是任意一个基，且设
51.3补充题【21】uxuaugXggXttV.V.V.[uu]uiueuauu]证明(Va，Va，V)是和(ul,a,us)对偶的，即uV,-Ou，，j一1,2,8.1.63设(u，s，g)和(Vi，V2，V)是对偶的基，证明(V，Va，Ve)和(ut，u2,u)有相同的定向，1.64证明存在定向基的两个等价类，即证明若（V1，V，Vs)和（Wi,W，Ws)不具有和（u，ua,us）相同的定向，则（Vi，Ve，V.)和（WWWe)有相同的定向。于是我们能够说，两个有序基有相同或相反的定向
第二章一个实变数的向量函数S2.1基本内容W:1.直线和平面:设a和u是中的向量，牛0.又设a表示Ea中通过a且平行于的直线上的点，期这直线的方程可以表示为(2.1)au+a,-<<+0或用分量形式表示为g kua + at,(2.2)gu+,—0<h<+0wg-u+(3方程（2.1)或(2.2)称为直线的参数方程.当参数·取遍所有实数时，点&就跑遍了整条直线。一个向量若与线性相关，就说这向量平行于这条直线，两条直线平行的必要充分条件是它们对应的方向向量u线性相关例2.1通过a=ei+2e.平行于u=e1-es的直线的参数方程是α=ku+a-h(ei--e)+(ei+2ea)(h+1)e+2en-kes-5+1,ag2,g-5敦例2.2若α和b是直线上的不同点，则6一a是一个平行于直线的非零向量，这样，通过，6两个不同点的直线的参数方程是ah(ba)-a或Wh(1)+1,g()-sg(-)+3.设&表示通过a平行于两个无关向量和的平面上的点，则这平面的方程可表示为(2.8)a-hu++a,-0<h<00, -h<0,它的分量方程是ihi+h+a1,a-hug+h2+a(2.4)Pahua+bg+as方程(2.8)、（2.4)称为平面的盈数方程，当h各自独立地取遍所有实数时，点α跑遍整个乎面。个向量若与平面上的向量、线性相关，就称这向量平行于这平面；一个向量若与平面上的向量u、都垂直，则称这向量垂直于、所决定的平面。若n是垂直于平面ahu++a的非零向量，则点落在这平面上的必要充分条件是一垂直于即(2.5)(α-a)n-0若用，a，n的分量表示，则这平面的方程可以驾成(2.6)(i-ui)+(-a)+(w-)n0