1.2问题及其解答【13]2c在ui，，u上的分量，解：2a-6--2c-2(u1-g+2us)-(ug-)--2(-—)-2u1-2ug+4g-g + ug +2u- 2ui-g +5us.于是2a—b-2c关于1，，鼠的分量是2，—1，55.数量积1.14证明向量的数景积的性质[0.1至[0]（见第5页证：[01l：ab-a1b1+bg+gbg=bar+bgag+b,aa-6-a[Oal:(ha).bkaib1+kaba+hasbgk(aib+gba+b)=(a.b).[Os]: a.(6+c) a1(b1+1)+ag(bg+0s) +s(bg+s)-aib1+agba+asbs+a01+ag0g+agCa-a.b+a.c.[0]显然·吃十+0并月·=++=0，当仅当-ag-01.15如图1-17，在三角形04中，设6=0A，6-0B,若|OAI-2,j0B|-3和ZA0B=80°求(a)a·b(81(b)P.(b), (0)P.(b).解: (a) a-b [a/1bcosZ(a, b) (2) (3) 0e 300-3/3.(b) P.(6) - (a-6)/ ia/-8/8 /2.(0) P.(b6) =Pa(b) % (8/8/4)a图1-171.16证明柯西-许瓦尔兹不等式：1a-b]l[，其中等号成立当且仅当和线性相关.证：若a=0或6-0,不等式显然正确。因此可以假设a,b+0,这时由[α],(哥哥）哥哥）21a116]±2a0<御±2a.b≤2|a] [6],故[a.b]<al1b].等式|a·|-[6|成立当且仅当b1aat6-0JaTbTTa或b-0,lah而这又当且仅当和b线性相关时成立1.17证明三角不等式：1a士+0证：[a±[=(a±)(±b)-[[+[|22(.b)<+[+2[][([]+161)，由上式敢平方根便得所要结果，1.18 证明对任意a和 6,1[α-[]/a±],证：由三角不等式，[]-[a≤|]+[],即 1][]<[]
」第一章向江同样|ao-a[a]+l印16|-1a5a±l.于是ia-bl-Max(ia|-ol,bi-[a)<a±b格国题得证。16.正交向量1.19设c垂直于a和证明对任意穿数研和gc.垂真手十b.F证：因为c垂直于a和bca-0和cb一0因此（a+）-c.a）（c0)0，于是c垂真无+1.20设群是基且定义auui,bug-Pa(u),c-us-P(us)-Pr(us),证明a，b，c是互相垂直的非零向量。1证: a.b-a.(ug-Pe(ua))-g.[ug.- (au)p/(l] a.g-(a.ue)(a+w)(la]*a·g-a.a- 所以alb.·其次a.c-a.[u-Pa(us) --P(ua)] -a.[us-(a.us)a/laa- (b.us)p/lb]a]-a--a.s-(b:ug)(a.b)/(b[A-因为abo,故a-c=a·ugaus-0，所以alc.最后，b-c-b. [us-(a.us)a/ [α[a-(b.us)bllb]]-(b-a)--(α.g)(α.b)//aj-(b.u)(5,6)/1b3.-(b.u)- (b.us)--0,于是，6，是互相垂直的：它们也是非零向量，因为量就#0，者b一0Obug-P(u)-g-haug-ku,这不可能，因为摄和线性无关，若c0，2O-c-ua-Pa(us)-P(ug)-uu-hia-hbL—hu—hg()ughu因为u1，u2，s线性无关，这也是不可能的，!.117.标准正交基1,:1.21证明(a)2821+382+482g-8,(b)）206拉「，若心,证：(a)0因此2821+882a+48-2(0)+3(1)+4(0)-310，若，:（b）如上所述，只有8起作用，故2o-8b,1.22设，2，g是基，且设t利tntayu:buiaa-a证明5-32bwVw, 班, 证：只要把下标改为书，则，ouauu，代入上式E
工.问随及其苔【5］ZbmaauiS2ainbnJuSouu,-AL因为ut，，s线性无关，故各分量对应相等，得到.2Budanbxj.1.，证明定理1.4：若ei，eg，ee是标谁正交基，且aaier:tae+e，6biei+bea+bes,则(a)b=b1+ba--abs(b)a=/a+a+a,()a-a.i,1,2,3.证:(a)a.b-(aiei+aea+ages)-(biei+bees+bses)-aibi(er.er)+tba(ei-ea)+bs(er-es)+abi(e-er)+aba(e-e)+abs(eges)+asbr(eg-ei)+agb(eg-ea)+asbs(es-)a1b1+02+agbsa-b((2be)-含含w5(e0), 12简写为：Zae).(a.b-22aib,ou-)Zabt即折(b)lal-Va.a-Vai++(o) a.e,- (Zae,).er-Za(ee)-Zajoy-a1.24 设ae1-2eg+ses 和b-ea-es. 求 (a) a.b,!(b) lal, (o) ta, (d) Pi(b),e)Pa(b),(f) cosZ(a, b) (g) a.ei, a.eaxia.es, (h)a的方向余弦..解:(a) a·b-(1)(0)+(-2)(1)+ (3)(-1)=-5;(b)a-/a.a(1)"+(-2)a+(3)/14,(c) wa-a/[ a[-(1//14)(et--2en+8eg);(d) P.(b) (a-b)/ [α [-- --B//14() P.(b)=Pa(b)ua--5/14(e+-2es3es);-5,:(f) cs2(a, 6b)-(a-b)/ [al[b(i-(-5//14./2)--5/(2/7)(g)a.e1-1,a-e.--2,a.es-8,(h) cosZ(a, e1) =/ μ i-1//14, cos2(a, es)=@/ /n(:-2//14,c08(a,ea)0s//a/3//14~1.25设ur，ua，s是任一基，证明存在唯一的基Vi,Va,Kar使Vrur-I, Vgura0, V-uib-0,Vyuso,Vgs-l, Vgua0,.Vi-ug-0,V..ug-0, Vaug-,n即Vu-Oé,j=1,2,8,基V，Va,Vs称为基ui，g,us的对偶基或逆基，相应地。若iu+ug+ug和bbV+bV+bVa则a.b-(Zau).(Zb,V)-2Zab(u-Vi)-)abouZab注意，标准正交基是它本身的对偶基，证：设ei，ea，es是标准正交基，又设dner+dpes+aises, .x "ua aa1er+ aageg+ase, t r
【18]第一章向豆gaier+aeg+e且Viaier+gea+ges,则V+i++ 1g + C1gg-1,Vuga210+02g+g8g0,Vi.usasi+asawg+aag0是关于m，ag，的三个方程的方程组，因为行列式aul*0，故它存在唯一解V=re1+gea+ages.类似地，对V，和V也有唯一解。剩下来的问题是证明V，V2，V线性无关，因而构成一个基，下式V1+V2+Vs-2mV-0e乘以品，j1,2,3，得到[2b]] u,-2(Vu,) -2,u=k,=0, j-1, 2, 8.于是h1-ka,kg0,因此Vi，，Va线性无关，并且构成一个基8.定向1.28证明，三向量组（Vt，V2，Vs)，其中Vi-2u1-g+2u8，Vg-ug+s和Vg-一1+2u+u：和有序基（u1，，u）有相同的定间，证：因分量行列式20-1]-1 12=1>0,121所以（Vi，V，V)和(ut,ug，ua)有相同的定向1.27证明：定向是中所有有序基的集合上的一个等价关系，即证明(a）对所有（Vi，VaV)，（Vi，Ve,V）和(V，Ve，Vs)有相同的定向(b）若（Vi，Va，Va)利（u，uz，g）有相同的定向，则ui,rue，a）和（Vi，Ve，e)有相同的定向；（o）若（w,ws,a）和(Vi，V2,V）有相同的定向，且（V，Va，V）和（ui，u，ua）有相同的定向，则（w,ws，ws)和（u，u，u)有相同的定向81,2,8.因为行列式8ul1,故(VVV）和证：（a）我们记V,一(V,Vs，V)有相同的定向(b）设V,-≥auu和u-buV.由问题1.22,艺amb%=8u.用展开的方法易验台2aubn证行列式au，因此110g/ J8ul-ulTay] :因为（V，V，V)和(u,ua，us)有相同的定向，教[oul>0。于是bul≥0,因此（u，aua)和(V，Ve，Vs)有相同的定向
81.2问题及其解答【17](o)设VZanl和W,≥6mV。以前者代入后者得到22）W-于是W.Culle其中anbw, , j1, 2, 8.Oay同样[ou]=/Eanbu]-[al|bal,因为（W,Wa，W）和（Vi，Va，V)有相同的定向，面（V，Vs，s)和(u,ua，g）有相同的定，故|bu>0和Gu>0,因此|ou|>0,于是（W,W2，W)和(u，，us)有相同的定.:09.向量积1.28设a-2e1-e+ea,b-e1+2eg-es,c-e2+2es.试确定(a)axb,(b)bxa,(c)ax(bxc), (d)(axb)xc, (e)(axb).c, (f)ax(b+c)-axb-axc.解：21e1]121121121-1(a) axb2es-e1+8011-12les711+oes.12[ei2(b) bxa:es-1Bea-bea易见，-bx4:1-1es1~ 0lei(0) ax(6xc)=(2e2esex(201e)x(b02e.tea)2es-15]2jera1.:eg-1-2-ei+Bertes.11es1_1e.0(d)(a×b)xc=(-e1+8ea+be)×(eg+2es)-8eaer+2eg-e3由此62es看出ax(bxc)Φ(axb)xc(e) (α×b)·c-(--e1+8eg+bes)- (eg+2es) -(-1)(0) + (8)(1) + (5)(2) 13[e.21(f) ax(b+c)-eg -1 8-4ei-eg+7s,axb--e+3e+bes且axc11es-8e1--4eg+23,则ax(b+c)-axb-axc-(-4er-e,+7es)-(-er+e,+bes)-(-Be1-4e-+2es)-0