【8］第一章向量为了直观地识别有序基的一个定向，若基中的向量1，，在空间中依次和右手的爆指，食指与中指取相同的方向，则称（1，3）为右手系基，否则就称为左手系基、例1.18图1-10(α)和(o)中的三向量组（u1，us，s)是右手系基，在图1-10(6)和(d)中，它们是左手系基，注意；除非另有说明，往后所说的基将是指右手系标准正交基。10.向量的向量积设（ee，es）是右手标推正交基，互设aei十+aes和b-e+ge+bea和b的义积或向量积是向量，记作a×b，定义为axb-(agba-asba)er+(agb1--aib3)eg+(abg-asbi)es它可视为下面的行列式的展开式：lerab[1 aa ba IabIatbraxb--enC2ba-b3b8be3gbsleadg-(agbs-asb2)e1+(agb1-aibs)e,+(aibg-agbi)es例1.18设a-e1-e,b-e+2ea,c--2e1-es,则[er101axbm-1eg-2ei-2ea+es.es20在问题1.82中，我们证明向量积实际上并不依赖于右手系标准正交基的选择，在问题1.81中，我们还证明定理1.5(i)axb-albising,其中9(a,6);(ii) a. (axb)la且(axb).1 bub.若axb0，则（α,b，axb)是右手系的线性无关的三向量组因为[|[6sin0当且仅当a0或=0或?-0或-元，从上面（)和许瓦尔慈不等式的严格形式（即·b一|的充分必要条件为和线性相关）有定理1.8axb-0当且仅当a和b线性相关。若和b不是线性相关，即若a×b0，则定理1.5（ii）表朗axb垂直于a和b，并且（a，b，a×b)是右手系的三向量组，如图1-11(a）所示。注意，向量积一般不是可交换的。虽然b×和×b有相同的长度（定理差.5（）)且平行于a×b（定理1.5(i)a.），但bxa和axb的方向是相反的（定趣1.5(i)b.)所以xa-（α×6），如图1-11(6）所示常.(a)(b)图1-11图 1-12
51.1禁本内容【9］例1.20对于标准正交基（91，9，93），如图1-12所示，由定理1.5可得91Xg1-0,92×91-—9a,gsxgi-92g1xg2g302xg2-09sx99--9sg1x9a-9a9×9g-1,qx93-0.在回题1.29中，我们证明向量积满足【E]ax6（6xa（反交换律)[Ea]ax(b+c)-axb+axc（分配律);[Ea](ha)×xbk(axb）(h数量);[E] axa-0.注意：向量积不仅不可交换，而且也不能结合，即一般来说a×（xc）+（a×b）xc由例1.20,91×（g1×ga)-91×g3--92,雨(g1×g1)×9a-0×92-0例1.21如图1-18，在三角形ABO中，设a-BC,6AC,c-AB6-,%L(b, c),β=Z(c, a), -(a, b), 现在,0-cxc-cx(b-a)-cxb-cxa,即cxb-cxa.类似地，cxb-(b-a)xb-bxb-axb-bxa,因此图1-13cxb-cxa-bxa,则：Icxbl-[cxal--bxal,即clb|sina-[cl[aisinB[b|lajsin这就给出了正弦定理sinβsinasin?3Jar161Jc11.混合积和向量恒等式积a·bxc称为混合积或三重数量积，注意并不需要加括号，因为该式只能意味着a·（6xe），即向量a和向量bxc的数量积，这个积也可以利用行列式表示出来。设arertaeg+aaes,b-biei+be2+bseacciei+Cea+Cses,则Jerbicr[a.bx062aetaesea).e2C2eabsCsa1(bgCg-bgcs)-a(b1-C1ba)+a(b1og-bac))c1b1.C1b2aC2(1.8)asbsC3由行列式的性质得a.bxc=c-axb-b.cxa--(b.axc)--(c-bxa)--(a.cxb)(1.9)特别地，可得a.bxca×b.c。这样一来，我们可以丢掉混合积记号中的点和叉，使用奶下记号代替它：
【10】第一禁向海[abc]ia.bxcsaxb.c.由定理1.8和等式(1.8)直接得到定理1.7[abc]=0的充分必要条件是a，b，c线性相关.有关向量的数量积和向量积的恒等式用途较广，在间题1.85中导出一个基本恒等式，即定理1.8 ax(bxc)-(a-c)6-(a.b)c由上式易导出另一些恒等式：[F](axb).(cxd)-(a-c)(b.d)-(a-d)(b.c);[Fa](axb)x(cxd)-[abd]c-[abcjd例1.2设u-cxd，则axb-u-a.bxu-a.[bx(cxd)]=a.[(b.d)c-(b.c)d]这里我们用了（1.9)和定趣1.8.由此得出(axb).(cxd)- (a.c)(b.d)-(a-d)(b.c).(这就证明了上面的[F]$1.2问题及其解答1.向量加法1.1证明向量加法的性质[4]至[A4]，即证明[A]a+b=b+a，[A](a+b)+c-a+(b+c),[4sja+0=a,[A]a+(-a)-0.证：[Al：a+b(+bg+G+bs)=(1+,b+gb+)=6+[A,]:(a+b)+c=[(a+b1)+ct, (ag+ba)+ca, (as+ba)+c] [a+(b1+o);+(ba+c),+（b3+c)a+(b+c)E[A]:a+0-(1+0,+0,+0)=(,a2,a3)-[A]: a+(-a) -(ai-4, ag-ae, s--as) - (0, 0, 0) -0.1.2如图1-14所示的平行六面体中，设=0P,6-0R,c-0S，试用a,b,表示OV,VQ和RT解：OV-OR+RV-OR+OS-b+c.VQ-VR+RQ---RV+RQ--oS+oP--c+aRT-ES+ST-RO+OS+STo图1-34α-otc+a.1.3例1.4运用性质[A至[A]已证明向量方程a十a-b有唯解%b+（一a)-b-a，运用此结果，证明：（a）零向量0是唯一的，即若0+=，则00(b）向量一a是唯一的，即若a+a-0，则a=一a(o)对任意a,有一(a)a,证：（a）由方程α十a一a的解的唯一性即得，（b）由方程α十α=0的解的唯一性即得
1.2问题及其解答【11]（o）考虑方程a十α0它有解a0—（a）（a），而a+-0,于是，根方程的解的唯性即得-（一a）a.+2.数乘向量1.4证明数乘向量的性质[B]至[Ba]，即证明：[B]（ga）一（)a,[B]（+)a=ha+ga,h(a+b)-ka+b,[Baia-a证：[Bi:h(ha)=(hi(hgi),(hgaa),i(hds))±((hia)"(bg)aa，(hiha)aba)(he)a;[Bal(h+)-((+)a+(+)a(+)a)(,h1+hg,ag+6ag)hia+ha(a+)-((a+b1),(a+ba),(ag+ba))a+,[Ba]la-(lai,laa,Ian)-(1, a,aa)a1.5若au1-2ug+Bus,b-ug—us,c-u1+2u,试用iu2,表示 2a-3(b-c),解：2a-3(6-c)-2a-85+3c-2(u1-22+3us)-8(ug-u)+8（+2u2）-2u..4u+6u-Bu+Sug+Bu+6u-5u1-u+9us1.6证明三角形两边中点的连线平行于第三边且等于第三边的一平证：如图1-15所示，设M和M分别是三角形ABO.的边AB和AO的中点，这时AM=1AB, AM"号AC直 MM/-AM-AM-I(AC=AB)-I BC, 于是MM'平行于BC，且它的长度是BC长度的一半。tt:3图1-15图1-161.7如图1-16所示，设a-0A，6=0B，b*a，且c00证明：0在A和B所确定的直线L上的充分必要条件是c，其中研+-1证：若α在L上，则BA一一和BCc-b是平行的，因此存在，使c(-0)，或c(1-)+,其中+=+1h1反之，著*+，其中碰1手a则c--a+zb-bha—(1—)b-a—b(ab),即cBC箱αBA是平行的因此U在A和B所确定的直线上3..3.线性相关和线性无关1.8证明：向量期1，2，"，是线性相关的充分必要条件是这些向盘中的一个是其余向量的线性组合..1
【12】第一章向量证；假定是2，，的线性组合，即u一十十，，则乱一g一u一0，其中至少1的系数1不是零。因此u1，，u，线性相关反之，若，…，线性相关，则存在不全为零的，，，使u十十…十D假定0,则u1-—（h2/)u2—.（h/)n，因此就是2,，u的线性组仓1.9证明若一向量集合有一个线性相关的子集，则它也是线性相关的证；假定集合u,ua"，uu，un+,"，u的子集u，a，…，是相关的，则存在不全为零的，，使u+ug++-0然而这时++++Oux+++ou,一0，因此i，a，，u也是相关的1.10证明定理1.1如果u，…，线性无关，且u+ua++u一u+十十u则，，碗证：假定某个字，则(）u+（h-）u++）u++（）0其中+0而这意味，，，线性相关，和定理的条件矛盾4.基和分量1.11证明E中每一个向量可以写成三个无关的向量的线性组合，因此三个线性无关向量构成E中的一个基：证：如果a，b，c是线性无关的，则方程a+6+-0有唯一解α=9=2=0.这等价于方程组b120aag+yba+20g=0,a03+yba+200.仅有平凡解一9=0，而这仅当系数矩阵有非零行列式时成立，即[11]aaba Cs1+0asbaCg此时对E中每一个向量一，us，ug），方程组a+b+oma+ybg+2cug,aa+yba+c3-u.有解a一，y，2=码，这意味着ua十十sc符合要求1.12证明E中任意四个或多于四个的向量线性相关证：考虑向量，，3，，，可假定就1，2，s线性无关，否则因为，g，u3，4，，u有线性相关的子集，因而它们是线性相关的。若t，u2，s线性无关，“它们构成一个基，且有u一u一ug十s，这意味着u1，2，a，线性相关，因此i，ag，u4，"，u，线性相关，1.13设u,ue,u是基，且设a-u1—ug+23,bug—ug和c=—u2,求2a-b-